I.3. Levi et image du transfert
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paraboliques ayant ˆ
M 0 comme composante de Levi sont conjugués. Cela entraîne
que la condition précédente ne dépend que de ˆ
M et pas du choix de ˆ
P . Supposons
que ( ˜
P, ˜
M) soit l’image d’une paire parabolique ( ˜
P , ˜
M ) de ˜
G. On dira dans ce
cas que ˆ
M correspond à l’espace de Levi ˜
M . Alors M
= (M
, M
, ˜
s) est une
donnée endoscopique pour ( ˜
M , a M ). Cette donnée est elliptique par construction.
Même si G
est relevant, il peut se produire que M
ne le soit pas. On dira que
M
est relevant si d’une part, ˆ
M correspond à un espace de Levi ˜
M , d’autre part
M
est relevant. Dans ce cas, comme dans le paragraphe précédent, des données
auxiliaires pour G
se restreigent en des données auxiliaires pour M
et on définit
un homomorphisme
I(G
) ⊗ Mes(G
(F )) → I(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
En fait, seule la classe d’équivalence des données ( ˜
M , M
) est bien déterminée
car on a effectué divers choix. Changer ces choix compose l’homomorphisme cidessus par des éléments de Aut( ˜
M , M
). Cela entraîne la propriété suivante : si f
est un élément de I(G
)⊗Mes(G
(F )) et ϕ est un élément de I(M
)⊗Mes(M
(F ))
invariant par l’action de Aut( ˜
M, M
), alors la relation f ˜
M = ϕ est indépendante
des choix. De même, levons l’hypothèse que M
est relevant, supposons seulement
que G
le soit. On ne peut plus définir d’espace I(M
). Mais, pour f ∈ I(G
) ⊗
Mes(G
(F )), la relation f ˜
M = 0 a un sens : elle signifie que si, par le choix de
données auxiliaires, on identifie f à un élément f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )),
alors (f 1 ) ˜
M
1
= 0. Ceci est indépendant du choix des données auxiliaires.
On peut remplacer dans les constructions ci-dessus les espaces I(G
) par
SI(G
).
I.3.5 K-espaces
Supposons F = R et considérons un K-espace K ˜
G sur un K-groupe KG comme
en 1.11. Les constructions des quatre paragraphes précédents valent pour chaque
composante ˜
G p . Mais en travaillant composante par composante, on perd la notion
de K-espace. Pour la retrouver, il faut définir correctement les notions d’espace
parabolique et d’espace de Levi d’un K-espace. Sur C, tous les groupes G p ou espaces ˜
G p sont isomorphes, d’où une correspondance bijective entre leurs classes de
conjugaison de paires paraboliques. On définit une paire parabolique (KP, KM )
de KG sur C comme une famille (P p , M p ) p∈Π , où (P p , M p ) est une paire parabolique (sur C) de G p de sorte que, pour p, p
∈ Π, les classes de conjugaison de
(P p , M p ) et (P p , M p ) se correspondent. On définit de même une paire parabolique de K ˜
G. La définition est plus subtile sur R. On définit une paire parabolique
(KP, KM ) (sur R, précision que l’on omettra dans la suite) comme une famille
(P p , M p ) α∈Π où
– Π
est un sous-ensemble non vide de Π ;
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paraboliques ayant ˆ
M 0 comme composante de Levi sont conjugués. Cela entraîne
que la condition précédente ne dépend que de ˆ
M et pas du choix de ˆ
P . Supposons
que ( ˜
P, ˜
M) soit l’image d’une paire parabolique ( ˜
P , ˜
M ) de ˜
G. On dira dans ce
cas que ˆ
M correspond à l’espace de Levi ˜
M . Alors M
= (M
, M
, ˜
s) est une
donnée endoscopique pour ( ˜
M , a M ). Cette donnée est elliptique par construction.
Même si G
est relevant, il peut se produire que M
ne le soit pas. On dira que
M
est relevant si d’une part, ˆ
M correspond à un espace de Levi ˜
M , d’autre part
M
est relevant. Dans ce cas, comme dans le paragraphe précédent, des données
auxiliaires pour G
se restreigent en des données auxiliaires pour M
et on définit
un homomorphisme
I(G
) ⊗ Mes(G
(F )) → I(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
En fait, seule la classe d’équivalence des données ( ˜
M , M
) est bien déterminée
car on a effectué divers choix. Changer ces choix compose l’homomorphisme cidessus par des éléments de Aut( ˜
M , M
). Cela entraîne la propriété suivante : si f
est un élément de I(G
)⊗Mes(G
(F )) et ϕ est un élément de I(M
)⊗Mes(M
(F ))
invariant par l’action de Aut( ˜
M, M
), alors la relation f ˜
M = ϕ est indépendante
des choix. De même, levons l’hypothèse que M
est relevant, supposons seulement
que G
le soit. On ne peut plus définir d’espace I(M
). Mais, pour f ∈ I(G
) ⊗
Mes(G
(F )), la relation f ˜
M = 0 a un sens : elle signifie que si, par le choix de
données auxiliaires, on identifie f à un élément f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )),
alors (f 1 ) ˜
M
1
= 0. Ceci est indépendant du choix des données auxiliaires.
On peut remplacer dans les constructions ci-dessus les espaces I(G
) par
SI(G
).
I.3.5 K-espaces
Supposons F = R et considérons un K-espace K ˜
G sur un K-groupe KG comme
en 1.11. Les constructions des quatre paragraphes précédents valent pour chaque
composante ˜
G p . Mais en travaillant composante par composante, on perd la notion
de K-espace. Pour la retrouver, il faut définir correctement les notions d’espace
parabolique et d’espace de Levi d’un K-espace. Sur C, tous les groupes G p ou espaces ˜
G p sont isomorphes, d’où une correspondance bijective entre leurs classes de
conjugaison de paires paraboliques. On définit une paire parabolique (KP, KM )
de KG sur C comme une famille (P p , M p ) p∈Π , où (P p , M p ) est une paire parabolique (sur C) de G p de sorte que, pour p, p
∈ Π, les classes de conjugaison de
(P p , M p ) et (P p , M p ) se correspondent. On définit de même une paire parabolique de K ˜
G. La définition est plus subtile sur R. On définit une paire parabolique
(KP, KM ) (sur R, précision que l’on omettra dans la suite) comme une famille
(P p , M p ) α∈Π où
– Π
est un sous-ensemble non vide de Π ;