62
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Cf. [80] 3.2(1) pour la finitude. Pour la deuxième assertion, utilisons les
mêmes notations que dans la preuve précédente. Ecrivons ˜
ζ = ζ ˆ
θ. Soit Δ 0 un ensemble de représentants dans Δ−Δ
M des orbites pour l’action du groupe engendré
par Γ F et ˆ
θ. L’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0
→
(C
× )
Δ0
x
→ (α(x)) α∈Δ0
est surjective à noyau fini. Il existe donc x ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 tel que (N α)(xζ) = 1
pour tout α ∈ Δ 0 . Pour un tel élément, posons ˜
s = x ˜
ζ. L’algèbre de Lie de ˆ
G
(˜ s)
contient
i=0,...,nα−1 (ad ˜
s )
i ( ˆ
E α ) pour tout α ∈ Δ 0 , où n α est le plus petit entier
i ≥ 1 tel que ˆ
θ
i (α) = α. Un élément de Z( ˆ
G
(˜ s)) fixe cet élément donc aussi chaque
composante ˆ
E ˆ
θ i α . Remarquons que les actions galoisiennes relatives à ˆ
G et à ˆ
G
(˜ s)
coïncident sur Z( ˆ
G
(˜ s)) ∩ Z( ˆ
M ). Un élément de Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩ Z( ˆ
M ) fixe donc
ˆ
E σ ˆ
θ i α pour tous α ∈ Δ 0 , i ∈ N et σ ∈ Γ F . Donc il fixe ˆ
E α pour tout α ∈ Δ − Δ
M .
Appartenant de plus à Z( ˆ
M ), il fixe tout ˆ
G. Donc Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩Z( ˆ
M ) ⊂ Z( ˆ
G). Or
Z( ˆ
G
(s))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
par l’hypothèse d’ellipticité de M
. Donc Z( ˆ
G
(s))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ
G) et forcément
Z( ˆ
G
(s))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 .
I.3.4 Levi de données endoscopiques
Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) et M
⊂ G
un Levi,
auquel est associé un espace de Levi ˜
M
(puisque ˜
G
est à torsion intérieure).
On fixe une paire de Borel épinglée de ˆ
G
et on normalise l’action galoisienne sur
ce groupe de sorte qu’elle conserve cette paire. Le choix d’un parabolique P
de
G
de composante de Levi M
permet d’identifier ˆ
M
à un Levi standard de ˆ
G
,
donc à un sous-groupe de ˆ
G. Notons ˆ
M , M, ˜
M les commutants de Z( ˆ
M
)
ΓF ,0
dans ˆ
G,
L G,
L ˜
G. Fixons x ∗ ∈ X ∗ (Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 ) en position générale. Il détermine
un sous-groupe parabolique ˆ
P de ˆ
G, engendré par ˆ
M et les sous-groupes radiciels
associés aux racines α de ˆ
T telles que α, x ∗ > 0 ( ˆ
T étant choisi comme en 1.5).
On pose P = ˆ
P M, ˜
P = ˆ
P ˜
M. Le couple ( ˜
P, ˜
M) est une paire parabolique de
L ˜
G.
Les seuls points non évidents à vérifier sont que la projection de P sur W F est
surjective et que ˜
P est non vide. Mais ˜
s appartient à ˜
P, ce qui vérifie ce deuxième
point. Pour w ∈ W F , il existe g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse sur ˆ
G
comme w G . Alors ad gw fixe x ∗ donc aussi ˆ
P . Donc g w ∈ P, ce qui vérifie le
premier point. On pose M
= G
∩ M. On se rappelle qu’il y a une injection de
l’ensemble des paires paraboliques de ˜
G dans celui des paires paraboliques de
L ˜
G.
Si G n’est pas quasi-déployé, ( ˜
P, ˜
M) peut ne pas appartenir à l’image : c’est le
cas si et seulement si ( ˆ
P , ˆ
M ) ne contient pas de conjugué d’une paire ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 )
comme en 3.1. On sait que les Levi ˆ
M 0 ont une propriété particulière : tous les
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Cf. [80] 3.2(1) pour la finitude. Pour la deuxième assertion, utilisons les
mêmes notations que dans la preuve précédente. Ecrivons ˜
ζ = ζ ˆ
θ. Soit Δ 0 un ensemble de représentants dans Δ−Δ
M des orbites pour l’action du groupe engendré
par Γ F et ˆ
θ. L’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0
→
(C
× )
Δ0
x
→ (α(x)) α∈Δ0
est surjective à noyau fini. Il existe donc x ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 tel que (N α)(xζ) = 1
pour tout α ∈ Δ 0 . Pour un tel élément, posons ˜
s = x ˜
ζ. L’algèbre de Lie de ˆ
G
(˜ s)
contient
i=0,...,nα−1 (ad ˜
s )
i ( ˆ
E α ) pour tout α ∈ Δ 0 , où n α est le plus petit entier
i ≥ 1 tel que ˆ
θ
i (α) = α. Un élément de Z( ˆ
G
(˜ s)) fixe cet élément donc aussi chaque
composante ˆ
E ˆ
θ i α . Remarquons que les actions galoisiennes relatives à ˆ
G et à ˆ
G
(˜ s)
coïncident sur Z( ˆ
G
(˜ s)) ∩ Z( ˆ
M ). Un élément de Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩ Z( ˆ
M ) fixe donc
ˆ
E σ ˆ
θ i α pour tous α ∈ Δ 0 , i ∈ N et σ ∈ Γ F . Donc il fixe ˆ
E α pour tout α ∈ Δ − Δ
M .
Appartenant de plus à Z( ˆ
M ), il fixe tout ˆ
G. Donc Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩Z( ˆ
M ) ⊂ Z( ˆ
G). Or
Z( ˆ
G
(s))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
par l’hypothèse d’ellipticité de M
. Donc Z( ˆ
G
(s))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ
G) et forcément
Z( ˆ
G
(s))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 .
I.3.4 Levi de données endoscopiques
Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a) et M
⊂ G
un Levi,
auquel est associé un espace de Levi ˜
M
(puisque ˜
G
est à torsion intérieure).
On fixe une paire de Borel épinglée de ˆ
G
et on normalise l’action galoisienne sur
ce groupe de sorte qu’elle conserve cette paire. Le choix d’un parabolique P
de
G
de composante de Levi M
permet d’identifier ˆ
M
à un Levi standard de ˆ
G
,
donc à un sous-groupe de ˆ
G. Notons ˆ
M , M, ˜
M les commutants de Z( ˆ
M
)
ΓF ,0
dans ˆ
G,
L G,
L ˜
G. Fixons x ∗ ∈ X ∗ (Z( ˆ
M
)
ΓF ,0 ) en position générale. Il détermine
un sous-groupe parabolique ˆ
P de ˆ
G, engendré par ˆ
M et les sous-groupes radiciels
associés aux racines α de ˆ
T telles que α, x ∗ > 0 ( ˆ
T étant choisi comme en 1.5).
On pose P = ˆ
P M, ˜
P = ˆ
P ˜
M. Le couple ( ˜
P, ˜
M) est une paire parabolique de
L ˜
G.
Les seuls points non évidents à vérifier sont que la projection de P sur W F est
surjective et que ˜
P est non vide. Mais ˜
s appartient à ˜
P, ce qui vérifie ce deuxième
point. Pour w ∈ W F , il existe g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse sur ˆ
G
comme w G . Alors ad gw fixe x ∗ donc aussi ˆ
P . Donc g w ∈ P, ce qui vérifie le
premier point. On pose M
= G
∩ M. On se rappelle qu’il y a une injection de
l’ensemble des paires paraboliques de ˜
G dans celui des paires paraboliques de
L ˜
G.
Si G n’est pas quasi-déployé, ( ˜
P, ˜
M) peut ne pas appartenir à l’image : c’est le
cas si et seulement si ( ˆ
P , ˆ
M ) ne contient pas de conjugué d’une paire ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 )
comme en 3.1. On sait que les Levi ˆ
M 0 ont une propriété particulière : tous les