I.3. Levi et image du transfert
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constructions où seule la classe d’équivalence de G
(˜ s) importe, on pourra considérer que ˜
s parcourt l’ensemble des classes de conjugaison par Z( ˆ
M )
ΓF dans
˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF . Par l’application z → ˜
ζz, cet ensemble de classes de conjugaison s’identifie à Z( ˆ
M )
ΓF /(Z( ˆ
G)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF )). On le remplacera souvent
par ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ grâce à l’assertion suivante. On y note θ
˜
M l’automorphisme de A M induit par ad γ pour n’importe quel γ ∈ ˜
M . On a
(2) l’homomorphisme naturel
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M )
ΓF /(Z( ˆ
G)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF ))
est surjectif ; son noyau a pour nombre d’éléments
| det((1 − θ
˜
M ) |AM /(A ˜
M +AG )|.
Preuve. Introduisons l’ensemble des racines simples Δ de ˆ
T , le sous-ensemble Δ
M
associé à ˆ
M et celui des copoids fondamentaux { ˇ
α ; α ∈ Δ} ⊂ X ∗ ( ˆ
T ad ). Le groupe
Z( ˆ
M ad )
ΓF est le sous-groupe des éléments
α∈Δ−Δ M ˇ
α (t α ) ∈ ˆ
T ad avec t α ∈ C
×
et α → t α est constante sur les orbites de Γ F dans Δ − Δ
M . Donc Z( ˆ
M ad )
ΓF est
connexe. Il en résulte que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF
→ Z( ˆ
M ad )
ΓF
est surjectif. Le même calcul montre que Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ est connexe et que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ
est surjectif. Les ensembles de départ et d’arrivée de l’homomorphisme (2) s’identifient respectivement à Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ et Z( ˆ
M ad )
ΓF /(1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M ad )
ΓF ). Tout se
décompose selon les orbites dans Δ − Δ
M de l’action du groupe engendré par Γ F
et ˆ
θ, ce qui nous ramène au cas où il n’y a qu’une seule orbite. Fixons un élément
α ∈ Δ − Δ
M , notons [α] son orbite sous l’action de Γ F , n le plus petit entier ≥ 1
tel que ˆ
θ
n (α) ∈ [α] et posons ˇ
[α] =
β∈[α] ˇ
β . Un élément de Z( ˆ
M ad )
ΓF s’écrit
i=0,...,n−1 ˇ
ˆ
θ i [α] (t i ), avec des t i ∈ C
× . Il appartient à (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M ad )
ΓF ) si et
seulement si
i t i = 1. Il appartient à Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ si et seulement si les t i sont
tous égaux. Il résulte de cette description que notre homomorphisme est surjectif et que son noyau a n éléments. Or n est égal au déterminant figurant dans
l’assertion (2).
On a aussi
(3) l’ensemble des ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tels que G
(˜ s) soit une donnée endoscopique elliptique de ˜
G est fini ; si M
est une donnée endoscopique elliptique
de ˜
M , cet ensemble n’est pas vide.
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constructions où seule la classe d’équivalence de G
(˜ s) importe, on pourra considérer que ˜
s parcourt l’ensemble des classes de conjugaison par Z( ˆ
M )
ΓF dans
˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF . Par l’application z → ˜
ζz, cet ensemble de classes de conjugaison s’identifie à Z( ˆ
M )
ΓF /(Z( ˆ
G)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF )). On le remplacera souvent
par ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ grâce à l’assertion suivante. On y note θ
˜
M l’automorphisme de A M induit par ad γ pour n’importe quel γ ∈ ˜
M . On a
(2) l’homomorphisme naturel
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M )
ΓF /(Z( ˆ
G)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF ))
est surjectif ; son noyau a pour nombre d’éléments
| det((1 − θ
˜
M ) |AM /(A ˜
M +AG )|.
Preuve. Introduisons l’ensemble des racines simples Δ de ˆ
T , le sous-ensemble Δ
M
associé à ˆ
M et celui des copoids fondamentaux { ˇ
α ; α ∈ Δ} ⊂ X ∗ ( ˆ
T ad ). Le groupe
Z( ˆ
M ad )
ΓF est le sous-groupe des éléments
α∈Δ−Δ M ˇ
α (t α ) ∈ ˆ
T ad avec t α ∈ C
×
et α → t α est constante sur les orbites de Γ F dans Δ − Δ
M . Donc Z( ˆ
M ad )
ΓF est
connexe. Il en résulte que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF
→ Z( ˆ
M ad )
ΓF
est surjectif. Le même calcul montre que Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ est connexe et que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ
est surjectif. Les ensembles de départ et d’arrivée de l’homomorphisme (2) s’identifient respectivement à Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ et Z( ˆ
M ad )
ΓF /(1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M ad )
ΓF ). Tout se
décompose selon les orbites dans Δ − Δ
M de l’action du groupe engendré par Γ F
et ˆ
θ, ce qui nous ramène au cas où il n’y a qu’une seule orbite. Fixons un élément
α ∈ Δ − Δ
M , notons [α] son orbite sous l’action de Γ F , n le plus petit entier ≥ 1
tel que ˆ
θ
n (α) ∈ [α] et posons ˇ
[α] =
β∈[α] ˇ
β . Un élément de Z( ˆ
M ad )
ΓF s’écrit
i=0,...,n−1 ˇ
ˆ
θ i [α] (t i ), avec des t i ∈ C
× . Il appartient à (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M ad )
ΓF ) si et
seulement si
i t i = 1. Il appartient à Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ si et seulement si les t i sont
tous égaux. Il résulte de cette description que notre homomorphisme est surjectif et que son noyau a n éléments. Or n est égal au déterminant figurant dans
l’assertion (2).
On a aussi
(3) l’ensemble des ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ tels que G
(˜ s) soit une donnée endoscopique elliptique de ˜
G est fini ; si M
est une donnée endoscopique elliptique
de ˜
M , cet ensemble n’est pas vide.