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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Pour ˜
s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF ˜
ζ, posons ˆ
G
(˜ s) = Z ˆ
G (˜ s)
0 et G
(˜ s) = ˆ
G
(˜ s)M
. On vérifie que
G
(˜ s) est un groupe. Remarquons que :
(1) ˆ
M
est un Levi de ˆ
G
(˜ s).
En effet, d’après les définitions, ˆ
M
est égal à ( ˆ
M ∩ ˆ
G
(˜ s))
0 . La même preuve
qu’en 3.1(9) montre que ˆ
M est le commutant de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 dans ˆ
G. Donc ˆ
M ∩ ˆ
G
(˜ s)
est le commutant de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
(˜ s). Remarquons que Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 est un tore
dans ˆ
G
(˜ s). Donc ˆ
M ∩ ˆ
G
(˜ s) est un Levi de ce groupe. Un Levi est connexe et (1)
s’ensuit.
Fixons une paire de Borel épinglée de ˆ
G
(˜ s) pour laquelle ( ˆ
P (˜ s), ˆ
M
) est
standard, où ˆ
P (˜ s) = ˆ
G (˜ s) ∩ ˆ
P . On munit ˆ
G
(˜ s) de l’unique action σ → σ G (˜ s) de
Γ F conservant cette paire de Borel épinglée et telle que, pour tout (m, w) ∈ M
,
l’action par conjugaison de (m, w) sur ˆ
G
(˜ s) soit égale à w G (˜ s) composé avec un
automorphisme intérieur. Cette action conserve la paire ( ˆ
P
(˜ s), ˆ
M
). On introduit
un groupe dual G
(˜ s) réductif connexe défini et quasi-déployé sur F . Alors G
(˜ s) =
(G
(˜ s), G
(˜ s), ˜
s) est une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). En particulier, il y
a un espace endoscopique ˜
G
(˜ s). Puisque la paire ( ˆ
P
(˜ s), ˆ
M
) est invariante par
Γ F , M
s’identifie à un Levi de G
(˜ s) et on vérifie que l’espace endoscopique ˜
M
s’identifie conformément à un espace de Levi de ˜
G
(˜ s).
Soient δ ∈ ˜
M
reg (F ) et γ ∈ ˜
M reg (F ). Si la classe de conjugaison par M
de δ
correspond à la classe de conjugaison par M de γ, alors la classe de conjugaison
par G
(˜ s) de δ correspond à la classe de conjugaison par G de γ. Autrement dit
D(M
) ⊂ D(G
(˜ s)). Inversement, pour (δ, γ) ∈ D(G
(˜ s)) ∩ ( ˜
M
(F ) × ˜
M (F )), il
existe un élément n ∈ Norm G(F ) ( ˜
M ) tel que (δ, nγn
−1 ) appartienne à D(M
).
Supposons M
relevant. Alors G
(˜ s) l’est aussi. Fixons des données auxiliaires
G
1 (˜ s), ˜
G
1 (˜ s), C 1 (˜ s), ˆ
ξ 1 (˜ s), Δ 1 (˜ s). On note λ 1 (˜ s) le caractère de C 1 (˜ s) associé à ces données. On note M
1 (˜ s) et ˜
M
1 (˜ s) les images réciproques de M
et
˜
M
dans G
1 (˜ s) et ˜
G
1 (˜ s). On note ˆ
ξ 1,M (˜ s) la restriction de ˆ
ξ 1 (˜ s) à M, D 1,M
l’image réciproque de D(M
) dans D 1 et Δ 1,M (˜ s) la restriction de Δ 1 (˜ s) à D 1,M .
On voit que le bifacteur de transfert pour la donnée M
coïncide avec la restriction à D 1,M × D 1,M du bifacteur de transfert pour la donnée G
(˜ s). Alors
(M
1 (˜ s), ˜
M
1 (˜ s), C 1 (˜ s), ˆ
ξ 1,M (˜ s), Δ 1,M (˜ s)) sont des données auxiliaires pour M
.
Par une variante de la construction de 3.1, on a un homomorphisme
I λ1(˜ s) ( ˜
G
1 (˜ s; F )) ⊗ Mes(G
(˜ s; F )) → I λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F )) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
.
On vérifie que, quand on change de données auxiliaires, ces homomorphismes sont
compatibles aux applications de recollement de 2.5. On obtient un homomorphisme
I(G
(˜ s)) ⊗ Mes(G
(˜ s; F )) → I(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
.
Pour λ ∈ Z( ˆ
M )
ΓF et ν ∈ Z( ˆ
G)
ΓF , posons ˜
s
= νλ˜ sλ
−1 . Alors la donnée G
(˜ s
) est équivalente à G
(˜ s), l’équivalence étant définie par λ. Dans les
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Pour ˜
s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF ˜
ζ, posons ˆ
G
(˜ s) = Z ˆ
G (˜ s)
0 et G
(˜ s) = ˆ
G
(˜ s)M
. On vérifie que
G
(˜ s) est un groupe. Remarquons que :
(1) ˆ
M
est un Levi de ˆ
G
(˜ s).
En effet, d’après les définitions, ˆ
M
est égal à ( ˆ
M ∩ ˆ
G
(˜ s))
0 . La même preuve
qu’en 3.1(9) montre que ˆ
M est le commutant de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 dans ˆ
G. Donc ˆ
M ∩ ˆ
G
(˜ s)
est le commutant de Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
(˜ s). Remarquons que Z( ˆ
M )
ˆ
θ,0 est un tore
dans ˆ
G
(˜ s). Donc ˆ
M ∩ ˆ
G
(˜ s) est un Levi de ce groupe. Un Levi est connexe et (1)
s’ensuit.
Fixons une paire de Borel épinglée de ˆ
G
(˜ s) pour laquelle ( ˆ
P (˜ s), ˆ
M
) est
standard, où ˆ
P (˜ s) = ˆ
G (˜ s) ∩ ˆ
P . On munit ˆ
G
(˜ s) de l’unique action σ → σ G (˜ s) de
Γ F conservant cette paire de Borel épinglée et telle que, pour tout (m, w) ∈ M
,
l’action par conjugaison de (m, w) sur ˆ
G
(˜ s) soit égale à w G (˜ s) composé avec un
automorphisme intérieur. Cette action conserve la paire ( ˆ
P
(˜ s), ˆ
M
). On introduit
un groupe dual G
(˜ s) réductif connexe défini et quasi-déployé sur F . Alors G
(˜ s) =
(G
(˜ s), G
(˜ s), ˜
s) est une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). En particulier, il y
a un espace endoscopique ˜
G
(˜ s). Puisque la paire ( ˆ
P
(˜ s), ˆ
M
) est invariante par
Γ F , M
s’identifie à un Levi de G
(˜ s) et on vérifie que l’espace endoscopique ˜
M
s’identifie conformément à un espace de Levi de ˜
G
(˜ s).
Soient δ ∈ ˜
M
reg (F ) et γ ∈ ˜
M reg (F ). Si la classe de conjugaison par M
de δ
correspond à la classe de conjugaison par M de γ, alors la classe de conjugaison
par G
(˜ s) de δ correspond à la classe de conjugaison par G de γ. Autrement dit
D(M
) ⊂ D(G
(˜ s)). Inversement, pour (δ, γ) ∈ D(G
(˜ s)) ∩ ( ˜
M
(F ) × ˜
M (F )), il
existe un élément n ∈ Norm G(F ) ( ˜
M ) tel que (δ, nγn
−1 ) appartienne à D(M
).
Supposons M
relevant. Alors G
(˜ s) l’est aussi. Fixons des données auxiliaires
G
1 (˜ s), ˜
G
1 (˜ s), C 1 (˜ s), ˆ
ξ 1 (˜ s), Δ 1 (˜ s). On note λ 1 (˜ s) le caractère de C 1 (˜ s) associé à ces données. On note M
1 (˜ s) et ˜
M
1 (˜ s) les images réciproques de M
et
˜
M
dans G
1 (˜ s) et ˜
G
1 (˜ s). On note ˆ
ξ 1,M (˜ s) la restriction de ˆ
ξ 1 (˜ s) à M, D 1,M
l’image réciproque de D(M
) dans D 1 et Δ 1,M (˜ s) la restriction de Δ 1 (˜ s) à D 1,M .
On voit que le bifacteur de transfert pour la donnée M
coïncide avec la restriction à D 1,M × D 1,M du bifacteur de transfert pour la donnée G
(˜ s). Alors
(M
1 (˜ s), ˜
M
1 (˜ s), C 1 (˜ s), ˆ
ξ 1,M (˜ s), Δ 1,M (˜ s)) sont des données auxiliaires pour M
.
Par une variante de la construction de 3.1, on a un homomorphisme
I λ1(˜ s) ( ˜
G
1 (˜ s; F )) ⊗ Mes(G
(˜ s; F )) → I λ1(˜ s) ( ˜
M
1 (˜ s; F )) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
.
On vérifie que, quand on change de données auxiliaires, ces homomorphismes sont
compatibles aux applications de recollement de 2.5. On obtient un homomorphisme
I(G
(˜ s)) ⊗ Mes(G
(˜ s; F )) → I(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
.
Pour λ ∈ Z( ˆ
M )
ΓF et ν ∈ Z( ˆ
G)
ΓF , posons ˜
s
= νλ˜ sλ
−1 . Alors la donnée G
(˜ s
) est équivalente à G
(˜ s), l’équivalence étant définie par λ. Dans les