I.3. Levi et image du transfert
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de Levi et que les conditions imposées à x entraînent que ad x ( ˜
M) = ˜
M. D’après
3.1(8), à x est donc associé une classe gM (F ) dans W ( ˜
M , ˜
M ).
Fixons un isomorphisme ι
: M
→ M
défini sur F dual à la restriction de
ad
−1
x à ˆ
M
. Remarquons que ad g définit un isomorphisme de Z( ˜
M ) sur Z( ˜
M ).
De ces deux isomorphismes résulte un isomorphisme ˜ ι
: ˜
M
→ ˜
M
. Supposons
M
relevant et fixons des données supplémentaires M
1 ,. . .,Δ 1 . Posons M
1 = M
1 ,
C 1 = C 1 , avec pour homomorphisme M
1 → M
le composé de M
1 → M
et de ι
.
On pose ˜
M
1 = ˜
M
1 muni de l’application ˜
M
1 → ˜
M
composée de ˜
M
1 → ˜
M
et de
˜ ι
. On pose ˆ
ξ 1 = ˆ
ξ 1 ◦ad
−1
x : M →
L M
1 =
L M
1 . Ces données vérifient les conditions
requises relativement à la donnée M
. Pour (δ 1 , γ) ∈ D 1 (l’ensemble relatif aux
premières données), on a (δ 1 , gγg
−1 ) ∈ D 1 (l’ensemble relatif aux secondes). On
vérifie l’égalité
Δ 1 (δ 1 , gγg
−1 ; δ
1 , gγ
g
−1 ) = Δ 1 (δ 1 , γ; δ
1 , γ
).
On choisit alors pour facteur de transfert pour les secondes données le facteur
Δ 1 (δ 1 , gγg
−1 ) = ω(g)Δ 1 (δ 1 , γ).
Cette définition ne dépend que de la classe gM (F ). Ces choix fournissent les
isomorphismes extrêmes de la suite
C
∞
c (M
) C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) = C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) C
∞
c (M
).
Ici encore, l’isomorphisme obtenu dépend du choix de ι
. Mais il devient indépendant de ce choix si on se limite à des fonctions invariantes par l’action des groupes
adjoints. Comme en 2.6, dans le cas particulier où ˜
M = ˜
M et M
= M
, on note
Aut( ˜
M , M
) le groupe des automorphismes de la paire ( ˜
M , M
) (c’est-à-dire de ses
équivalences avec elle-même). On obtient une action de ce groupe sur C
∞
c (M
). il
y a une suite exacte
1 → Aut(M
) → Aut( ˜
M, M
) → W ( ˜
M , M
) → 1
où W ( ˜
M , M
) est un sous-groupe de W ( ˜
M ). En particulier, on a une égalité d’espaces invariants
SI(M
)
Aut( ˜
M,M
) = (SI(M
)
Aut(M
) )
W ( ˜
M,M
) .
I.3.3 Données endoscopiques de ˜
G associées à une donnée
endoscopique d’un espace de Levi
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de
( ˜
M , a M ). On reprend la situation du début du paragraphe précédent et on note ˆ
P
le sous-groupe parabolique standard dont ˆ
M est la composante de Levi standard.
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de Levi et que les conditions imposées à x entraînent que ad x ( ˜
M) = ˜
M. D’après
3.1(8), à x est donc associé une classe gM (F ) dans W ( ˜
M , ˜
M ).
Fixons un isomorphisme ι
: M
→ M
défini sur F dual à la restriction de
ad
−1
x à ˆ
M
. Remarquons que ad g définit un isomorphisme de Z( ˜
M ) sur Z( ˜
M ).
De ces deux isomorphismes résulte un isomorphisme ˜ ι
: ˜
M
→ ˜
M
. Supposons
M
relevant et fixons des données supplémentaires M
1 ,. . .,Δ 1 . Posons M
1 = M
1 ,
C 1 = C 1 , avec pour homomorphisme M
1 → M
le composé de M
1 → M
et de ι
.
On pose ˜
M
1 = ˜
M
1 muni de l’application ˜
M
1 → ˜
M
composée de ˜
M
1 → ˜
M
et de
˜ ι
. On pose ˆ
ξ 1 = ˆ
ξ 1 ◦ad
−1
x : M →
L M
1 =
L M
1 . Ces données vérifient les conditions
requises relativement à la donnée M
. Pour (δ 1 , γ) ∈ D 1 (l’ensemble relatif aux
premières données), on a (δ 1 , gγg
−1 ) ∈ D 1 (l’ensemble relatif aux secondes). On
vérifie l’égalité
Δ 1 (δ 1 , gγg
−1 ; δ
1 , gγ
g
−1 ) = Δ 1 (δ 1 , γ; δ
1 , γ
).
On choisit alors pour facteur de transfert pour les secondes données le facteur
Δ 1 (δ 1 , gγg
−1 ) = ω(g)Δ 1 (δ 1 , γ).
Cette définition ne dépend que de la classe gM (F ). Ces choix fournissent les
isomorphismes extrêmes de la suite
C
∞
c (M
) C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) = C
∞
c,λ1 ( ˜
M
1 (F )) C
∞
c (M
).
Ici encore, l’isomorphisme obtenu dépend du choix de ι
. Mais il devient indépendant de ce choix si on se limite à des fonctions invariantes par l’action des groupes
adjoints. Comme en 2.6, dans le cas particulier où ˜
M = ˜
M et M
= M
, on note
Aut( ˜
M , M
) le groupe des automorphismes de la paire ( ˜
M , M
) (c’est-à-dire de ses
équivalences avec elle-même). On obtient une action de ce groupe sur C
∞
c (M
). il
y a une suite exacte
1 → Aut(M
) → Aut( ˜
M, M
) → W ( ˜
M , M
) → 1
où W ( ˜
M , M
) est un sous-groupe de W ( ˜
M ). En particulier, on a une égalité d’espaces invariants
SI(M
)
Aut( ˜
M,M
) = (SI(M
)
Aut(M
) )
W ( ˜
M,M
) .
I.3.3 Données endoscopiques de ˜
G associées à une donnée
endoscopique d’un espace de Levi
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de
( ˜
M , a M ). On reprend la situation du début du paragraphe précédent et on note ˆ
P
le sous-groupe parabolique standard dont ˆ
M est la composante de Levi standard.