58
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.3.2 Données endoscopiques d’espace de Levi
Considérons un espace de Levi ˜
M de ˜
G. Comme on l’a expliqué, on peut réaliser le
L-groupe
L M comme un sous-groupe de
L G. Précisément, après avoir fixé comme
en 1.4 une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G, on peut fixer une
paire parabolique standard ( ˆ
P , ˆ
M ) fixe par Γ F et ˆ
θ de sorte que ˆ
M W F soit le
L-groupe de M et ( ˆ
M W F ) ˆ
θ soit le L-espace
L ˜
M . On a alors un homomorphisme
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W F ; Z( ˆ
M )). En fait, il ne dépend pas des choix. On note a M
l’image de a dans H
1 (W F ; Z( ˆ
M )). Considérons une donnée endoscopique M
=
(M
, M
, ˜
ζ) pour ( ˜
M, a M ). Quitte à conjuguer ˆ
E par un élément de ˆ
M , on suppose
que ˜
ζ fixe ( ˆ
B, ˆ
T ). Dans la définition d’une telle donnée intervient un cocycle a M
tel que ad ˜
ζ (m, w) = (a M (w)m, w) pour tout w ∈ W F . Sa classe est a M . Si on
remplace ˜
ζ par un élément de Z( ˆ
M ) ˜
ζ, ce cocycle est modifié par un cobord. Pour
quelques instants, notons plus précisément a M, ˜
ζ le cocycle associé à ˜
ζ. On a
(1) dans l’ensemble Z( ˆ
M ) ˜
ζ, il existe une unique classe modulo Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G)
telle que, pour ˜
ζ
dans cette classe, a M, ˜
ζ prenne ses valeurs dans Z( ˆ
G).
Preuve. L’hypothèse que a M provient d’un élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) entraîne
qu’il existe au moins un ˜
ζ
∈ Z( ˆ
M ) ˜
ζ tel que a M, ˜
ζ prenne ses valeurs dans Z( ˆ
G).
Fixons-en un et pour simplifier les notations, supposons que ce soit ˜
ζ lui-même.
Pour z ∈ Z( ˆ
M ), on calcule a M,z ˜
ζ (w) = zw(z)
−1 a M, ˜
ζ (w). Ce terme appartient à
Z( ˆ
G) pour tout w si et seulement si l’image z ad de z dans Z( ˆ
M ad ) est fixe par Γ F
(où ˆ
M ad = ˆ
M /Z( ˆ
G)). Or Z( ˆ
M ad )
ΓF est connexe (c’est bien connu ; on rappelle la
preuve au paragraphe suivant dans celle de 3.3(2)) donc est l’image naturelle de
Z( ˆ
M )
ΓF . La condition équivaut donc à z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G).
Quitte à remplacer ˜
ζ par un élément convenable de Z( ˆ
M ) ˜
ζ, on peut supposer
que ˜
ζ appartient à l’unique classe déterminée par (1). C’est ce que l’on supposera
toujours, pour simplifier les notations. Autrement dit, on suppose que a M prend
ses valeurs dans Z( ˆ
G). Remarquons qu’alors, la classe de a M dans H
1 (W F ; Z( ˆ
G))
est égale à a, d’après :
(2) l’homomorphisme H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W F ; Z( ˆ
M )) est injectif.
Par une suite longue de cohomologie, cela résulte de la surjectivité remarquée
ci-dessus de l’application Z( ˆ
M )
ΓF
→ Z( ˆ
M ad )
ΓF .
Au lieu d’un espace de Levi et d’une donnée endoscopique de cet espace,
considérons deux telles paires ( ˜
M, M
) et ( ˜
M , M
), soumises aux mêmes hypothèses que ci-dessus. On réalise
L M et
L M comme sous-groupes de
L G et
L ˜
M et
L ˜
M comme sous-ensembles de
L ˜
G (il n’est pas nécessaire d’utiliser une paire de
Borel commune). Appelons équivalence entre ces données un élément x ∈ ˆ
G tel que
ad x ( ˆ
M ) = ˆ
M , ad x (M
) = M
, ad x ( ˜
ζ) ∈ Z( ˆ
M ) ˜
ζ. Remarquons que les ensembles
˜
M =
L ˜
M et ˜
M =
L ˜
M , réalisés comme sous-ensembles de
L ˜
G, sont des espaces