I.3. Levi et image du transfert
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dépend encore des choix de mesures de Haar, mais on le rend canonique en le
considérant comme un homomorphisme
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
f
→
f ˜
M,ω
Notons Norm G(F ) ( ˜
M ) le normalisateur de ˜
M dans G(F ) et posons
W ( ˜
M ) = Norm G(F ) ( ˜
M )/M (F ).
Le groupe Norm G(F ) ( ˜
M ) agit sur C
∞
c ( ˜
M (F )) par (x, f ) → xf , où
(xf )(m) = ω(x)f (x
−1 mx).
Cette action se descend en une action de W ( ˜
M ) sur I( ˜
M (F ), ω), donc aussi sur
I( ˜
M (F ), ω)⊗Mes(M (F )). L’image de l’homomorphisme ci-dessus est contenu dans
le sous-espace des invariants par cette action. On décrira cette image en 4.3.
On note I cusp ( ˜
G(F ), ω) l’espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) tels que f ˜
M,ω = 0 pour
tout espace de Levi propre ˜
M de ˜
G. On note C
∞
cusp ( ˜
G(F ), ω) l’espace des f ∈
C
∞
c ( ˜
G(F ), ω) dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) appartient à I cusp ( ˜
G(F ), ω).
Considérons le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour
γ ∈ ˜
M (F ) ∩ ˜
G reg (F ), on sait qu’un ensemble de représentants des classes de
conjugaison par M (F ) dans la classe de conjugaison stable de γ dans ˜
M (F ) est
aussi un tel ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F ) dans
la classe de conjugaison stable de γ dans ˜
G(F ). Pour f ∈ I( ˜
G(F ), ω), on a donc
l’égalité S
˜
M (γ, f ˜
M ) = S
˜
G (γ, f ). Il en résulte que l’homomorphisme composé
I( ˜
G(F )) → I( ˜
M (F )) → SI( ˜
M (F ))
se factorise en un homomorphisme
SI( ˜
G(F )) → SI( ˜
M (F ))
que nous noterons aussi f → f ˜
M . On note SI cusp ( ˜
G(F )) l’espace des f ∈ SI( ˜
G(F ))
tels que f ˜
M = 0 (dans SI( ˜
M (F ))) pour tout espace de Levi propre ˜
M de ˜
G. Ces
définitions s’adaptent au cas où on considère une extension
1 → C 1 → G 1 → G → 1
où C 1 est un tore central induit, une extension compatible
˜
G 1 → ˜
G
et un caractère λ 1 de C 1 (F ), et où on remplace l’espace
C
∞
c ( ˜
G(F )) par C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F ).