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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
˜
M de P et M dans ˜
G est un espace de Levi, s’il est non vide. Mais Z ˜
G (T ) est
inclus dans ˜
M et est non vide par hypothèse. Donc ˜
M est un espace de Levi. C’est
un espace principal homogène pour l’action disons à gauche de M . Or Z ˜
G (T ) est
stable par cette action. L’inclusion Z ˜
G (T ) ⊂ ˜
M est donc une égalité. Dans la
situation de (10), on a l’inclusion ˜
M ⊂ Z ˜
G (A ˜
M ) et ce deuxième ensemble est un
espace de Levi comme on vient de le prouver. Il suffit de prouver que les Levi
associés dans G sont égaux, autrement dit que M = Z G (A ˜
M ). Soit ˜
P un sousespace parabolique de ˜
G de sous-espace de Levi ˜
M . Soit y ∗ ∈ X ∗ (A M ) déterminant
P par la construction ci-dessus. Notons x ∗ la somme des éléments de l’orbite de y ∗
pour l’action du groupe d’automorphismes de X ∗ (A M ) engendré par θ, où θ = ad γ
pour un élément quelconque γ ∈ ˜
M . Alors x ∗ ∈ X ∗ (A ˜
M ). Comme θ préserve les
racines de A M positives pour P , on voit que le couple (P, M ) coïncide avec celui
construit dans la preuve de (9). Donc Z G (A ˜
M ) ⊂ M et la conclusion.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Considérons un espace parabolique ˜
P de
composante de Levi ˜
M et une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G
telle que B ⊂ P et T ⊂ M . Alors E
M = (B ∩ M, T, (E α ) α∈Δ M ) est une paire
de Borel épinglée de M . On a une injection Z( ˜
G, E) ⊂ Z( ˜
M, E
M ). On déduit par
passage aux quotients une application Z( ˜
G, E) → Z( ˜
M, E) qui s’identifie à une
application Z( ˜
G) → Z( ˜
M ). On laisse le lecteur vérifier que
(11) cette application Z( ˜
G) → Z( ˜
M ) ne dépend pas des choix de ˜
P et de E.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Fixons un espace parabolique ˜
P de composante ˜
M et un sous-groupe compact maximal K de G(F ), en bonne position
relativement à M et spécial si F est non-archimédien. On note U le radical unipotent de P . Fixons des mesures de Haar sur G(F ) et M (F ). On en déduit une
mesure sur U (F ) × K de sorte que l’égalité suivante soit vérifiée
G(F )
f (g) dg =
M(F )×U(F )×K
f (muk) dk du dm
pour toute f ∈ C
∞
c (G(F )). On définit un homomorphisme
C
∞
c ( ˜
G(F )) → C
∞
c ( ˜
M (F ))
f
→
f ˜
M,ω
par la formule
f ˜
M,ω (γ) =
U(F )×K
f (k
−1 u
−1 γuk)ω
−1 (k) du dk.
Cet homomorphisme dépend des choix de K et ˜
P . Mais il s’en déduit un homomorphisme I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
M (F ), ω) qui n’en dépend plus. Pour γ ∈ ˜
M (F )∩ ˜
G reg (F ),
on a simplement I
˜
M (γ, ω, f ˜
M,ω ) = I
˜
G (γ, ω, f ) pourvu bien sûr que l’on choisisse
une mesure unique sur le groupe M γ (F ) = G γ (F ). L’homomorphisme ci-dessus
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
˜
M de P et M dans ˜
G est un espace de Levi, s’il est non vide. Mais Z ˜
G (T ) est
inclus dans ˜
M et est non vide par hypothèse. Donc ˜
M est un espace de Levi. C’est
un espace principal homogène pour l’action disons à gauche de M . Or Z ˜
G (T ) est
stable par cette action. L’inclusion Z ˜
G (T ) ⊂ ˜
M est donc une égalité. Dans la
situation de (10), on a l’inclusion ˜
M ⊂ Z ˜
G (A ˜
M ) et ce deuxième ensemble est un
espace de Levi comme on vient de le prouver. Il suffit de prouver que les Levi
associés dans G sont égaux, autrement dit que M = Z G (A ˜
M ). Soit ˜
P un sousespace parabolique de ˜
G de sous-espace de Levi ˜
M . Soit y ∗ ∈ X ∗ (A M ) déterminant
P par la construction ci-dessus. Notons x ∗ la somme des éléments de l’orbite de y ∗
pour l’action du groupe d’automorphismes de X ∗ (A M ) engendré par θ, où θ = ad γ
pour un élément quelconque γ ∈ ˜
M . Alors x ∗ ∈ X ∗ (A ˜
M ). Comme θ préserve les
racines de A M positives pour P , on voit que le couple (P, M ) coïncide avec celui
construit dans la preuve de (9). Donc Z G (A ˜
M ) ⊂ M et la conclusion.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Considérons un espace parabolique ˜
P de
composante de Levi ˜
M et une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G
telle que B ⊂ P et T ⊂ M . Alors E
M = (B ∩ M, T, (E α ) α∈Δ M ) est une paire
de Borel épinglée de M . On a une injection Z( ˜
G, E) ⊂ Z( ˜
M, E
M ). On déduit par
passage aux quotients une application Z( ˜
G, E) → Z( ˜
M, E) qui s’identifie à une
application Z( ˜
G) → Z( ˜
M ). On laisse le lecteur vérifier que
(11) cette application Z( ˜
G) → Z( ˜
M ) ne dépend pas des choix de ˜
P et de E.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Fixons un espace parabolique ˜
P de composante ˜
M et un sous-groupe compact maximal K de G(F ), en bonne position
relativement à M et spécial si F est non-archimédien. On note U le radical unipotent de P . Fixons des mesures de Haar sur G(F ) et M (F ). On en déduit une
mesure sur U (F ) × K de sorte que l’égalité suivante soit vérifiée
G(F )
f (g) dg =
M(F )×U(F )×K
f (muk) dk du dm
pour toute f ∈ C
∞
c (G(F )). On définit un homomorphisme
C
∞
c ( ˜
G(F )) → C
∞
c ( ˜
M (F ))
f
→
f ˜
M,ω
par la formule
f ˜
M,ω (γ) =
U(F )×K
f (k
−1 u
−1 γuk)ω
−1 (k) du dk.
Cet homomorphisme dépend des choix de K et ˜
P . Mais il s’en déduit un homomorphisme I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
M (F ), ω) qui n’en dépend plus. Pour γ ∈ ˜
M (F )∩ ˜
G reg (F ),
on a simplement I
˜
M (γ, ω, f ˜
M,ω ) = I
˜
G (γ, ω, f ) pourvu bien sûr que l’on choisisse
une mesure unique sur le groupe M γ (F ) = G γ (F ). L’homomorphisme ci-dessus