I.3. Levi et image du transfert
55
Preuve. En oubliant les choix faits précédemment, on fixe maintenant des paires
de Borel épinglées dans chacun des groupes intervenant, dont on note les tores T ,
T , ˆ
T , ˆ
T . On normalise les actions de Γ F sur ˆ
M et ˆ
M de sorte qu’elles préservent
les paires de Borel épinglées. On choisit ˆ
θ ∈ ˜
M ∩ ˆ
G ˆ
θ et ˆ
θ ∈ ˜
M ∩ ˆ
G ˆ
θ qui préservent
aussi ces paires. De même, on choisit e ∈ ˜
M et e ∈ ˜
M préservant les paires de
Borel épinglées et on introduit les actions galoisiennes quasi-déployées σ → σ M ∗ et
σ → σ M ∗ qui prolongent aux groupes M et M celles de 1.2. Puisque l’on a fixé des
identifications de ˜
M et ˜
M à
L ˜
M et
L ˜
M , les tores ˆ
T et ˆ
T s’identifient aux duaux
de T et T . Ces identifications sont équivariantes pour les actions galoisiennes et
transportent ˆ
θ et ˆ
θ en les inverses de θ = ad e et θ = ad e . Soit x ∈ ˆ
G tel que
ad x ( ˜
M) = ˜
M. Quitte à multiplier x à droite par un élément de ˆ
M , on peut
supposer que ad x transporte la paire de ˆ
M sur celle de ˆ
M , donc ˆ
T sur ˆ
T . Par
dualité puis inversion, il s’en déduit un isomorphisme ι : T → T . Celui-ci est la
restriction d’un automorphisme ad g pour un g ∈ G. En effet nos identifications
sont issues de choix de paraboliques. A conjugaison près, on peut les supposer
tous standard, pour des paires de Borel fixées de G et ˆ
G. Alors ˆ
T devient égal
à ˆ
T , l’isomorphisme ad x de ce tore est un élément du groupe de Weyl de ˆ
G et
ι est l’élément du groupe de Weyl de G qui lui correspond. Soit donc g ∈ G tel
que ι soit la restriction de ad g à T . La définition de x entraîne que ad x envoie
ˆ
M sur ˆ
M , qu’il est équivariant pour les actions galoisiennes et transporte ˆ
θ sur
ˆ
θ (ces éléments étant vus ici comme des automorphismes de ˆ
G). Par dualité, ad g
envoie M sur M , est équivariant pour les actions galoisiennes quasi-déployées et
transporte θ sur θ. Cette dernière condition implique que ad g ( ˜
M ) = ˜
M . Parce
que les actions galoisiennes naturelles ne diffèrent des actions quasi-déployées que
par des automorphismes intérieurs, la condition d’équivariance entraîne que la
classe gM est fixe par Γ F dans G/M . Or (G/M )(F ) = G(F )/M (F ). Quitte à
multiplier g à droite par un élément de M , on peut supposer que g ∈ G(F ). Alors
gM (F ) ∈ W ( ˜
M , ˜
M ). Évidemment, cette classe ne dépend que de la classe x ˆ
M et
on a ainsi défini une application de W ( ˜
M, ˜
M) dans W ( ˜
M , ˜
M ). On vérifie qu’elle
ne dépend pas des choix de paires de Borel épinglées. On définit l’application
réciproque de façon analogue. Cela prouve (8).
Les propriétés suivantes sont utiles :
(9) soit T ⊂ G un tore défini et déployé sur F ; notons Z ˜
G (T ) l’ensemble des
γ ∈ ˜
G tels que ad γ (t) = t pour tout t ∈ T ; si cet ensemble n’est pas vide,
c’est un espace de Levi de ˜
G ;
(10) soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G ; alors ˜
M = Z ˜
G (A ˜
M ).
Preuve. Cela est bien connu dans le cas non tordu où ˜
G = G. Dans la situation
de (9), le commutant M de T dans G est un Levi. Soit x ∗ ∈ X ∗ (T ) en position
générale. Il détermine un sous-groupe parabolique P de composante de Levi M : P
est engendré par M et les sous-espaces radiciels pour l’action de T dans l’algèbre
de Lie de G associés aux racines α telles que α, x ∗ > 0. Le normalisateur commun
55
Preuve. En oubliant les choix faits précédemment, on fixe maintenant des paires
de Borel épinglées dans chacun des groupes intervenant, dont on note les tores T ,
T , ˆ
T , ˆ
T . On normalise les actions de Γ F sur ˆ
M et ˆ
M de sorte qu’elles préservent
les paires de Borel épinglées. On choisit ˆ
θ ∈ ˜
M ∩ ˆ
G ˆ
θ et ˆ
θ ∈ ˜
M ∩ ˆ
G ˆ
θ qui préservent
aussi ces paires. De même, on choisit e ∈ ˜
M et e ∈ ˜
M préservant les paires de
Borel épinglées et on introduit les actions galoisiennes quasi-déployées σ → σ M ∗ et
σ → σ M ∗ qui prolongent aux groupes M et M celles de 1.2. Puisque l’on a fixé des
identifications de ˜
M et ˜
M à
L ˜
M et
L ˜
M , les tores ˆ
T et ˆ
T s’identifient aux duaux
de T et T . Ces identifications sont équivariantes pour les actions galoisiennes et
transportent ˆ
θ et ˆ
θ en les inverses de θ = ad e et θ = ad e . Soit x ∈ ˆ
G tel que
ad x ( ˜
M) = ˜
M. Quitte à multiplier x à droite par un élément de ˆ
M , on peut
supposer que ad x transporte la paire de ˆ
M sur celle de ˆ
M , donc ˆ
T sur ˆ
T . Par
dualité puis inversion, il s’en déduit un isomorphisme ι : T → T . Celui-ci est la
restriction d’un automorphisme ad g pour un g ∈ G. En effet nos identifications
sont issues de choix de paraboliques. A conjugaison près, on peut les supposer
tous standard, pour des paires de Borel fixées de G et ˆ
G. Alors ˆ
T devient égal
à ˆ
T , l’isomorphisme ad x de ce tore est un élément du groupe de Weyl de ˆ
G et
ι est l’élément du groupe de Weyl de G qui lui correspond. Soit donc g ∈ G tel
que ι soit la restriction de ad g à T . La définition de x entraîne que ad x envoie
ˆ
M sur ˆ
M , qu’il est équivariant pour les actions galoisiennes et transporte ˆ
θ sur
ˆ
θ (ces éléments étant vus ici comme des automorphismes de ˆ
G). Par dualité, ad g
envoie M sur M , est équivariant pour les actions galoisiennes quasi-déployées et
transporte θ sur θ. Cette dernière condition implique que ad g ( ˜
M ) = ˜
M . Parce
que les actions galoisiennes naturelles ne diffèrent des actions quasi-déployées que
par des automorphismes intérieurs, la condition d’équivariance entraîne que la
classe gM est fixe par Γ F dans G/M . Or (G/M )(F ) = G(F )/M (F ). Quitte à
multiplier g à droite par un élément de M , on peut supposer que g ∈ G(F ). Alors
gM (F ) ∈ W ( ˜
M , ˜
M ). Évidemment, cette classe ne dépend que de la classe x ˆ
M et
on a ainsi défini une application de W ( ˜
M, ˜
M) dans W ( ˜
M , ˜
M ). On vérifie qu’elle
ne dépend pas des choix de paires de Borel épinglées. On définit l’application
réciproque de façon analogue. Cela prouve (8).
Les propriétés suivantes sont utiles :
(9) soit T ⊂ G un tore défini et déployé sur F ; notons Z ˜
G (T ) l’ensemble des
γ ∈ ˜
G tels que ad γ (t) = t pour tout t ∈ T ; si cet ensemble n’est pas vide,
c’est un espace de Levi de ˜
G ;
(10) soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G ; alors ˜
M = Z ˜
G (A ˜
M ).
Preuve. Cela est bien connu dans le cas non tordu où ˜
G = G. Dans la situation
de (9), le commutant M de T dans G est un Levi. Soit x ∗ ∈ X ∗ (T ) en position
générale. Il détermine un sous-groupe parabolique P de composante de Levi M : P
est engendré par M et les sous-espaces radiciels pour l’action de T dans l’algèbre
de Lie de G associés aux racines α telles que α, x ∗ > 0. Le normalisateur commun