54
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
une assertion analogue du côté dual. D’autre part, on peut identifier Σ( ˆ
T ) à l’ensemble de coracines ˇ
Σ(T ). Pour prouver (5), il suffit de prouver que, si Π est
un sous-ensemble parabolique de Σ(T ), alors l’ensemble ˇ
Π = { ˇ
α; α ∈ Π} est un
sous-ensemble parabolique de ˇ
Σ(T ). Notons V l’espace vectoriel réel engendré par
Σ(T ). On sait qu’à l’aide d’un produit euclidien convenable sur V , on peut identifier ˇ
Σ(T ) à un sous-ensemble de V . Précisément, pour α ∈ Σ(T ), ˇ
α s’identifie à
2α/(α, α). Soit Π ⊂ Σ(T ). On sait que c’est un sous-ensemble parabolique si et
seulement s’il existe une base B de Σ(T ) et un sous-ensemble B
⊂ B de sorte
que Π soit l’ensemble des α ∈ Σ(T ) qui s’écrivent α =
β∈B c β β avec des coefficients c β ≥ 0 pour β ∈ B
(cf. [30] VI.1.7 proposition 20). Supposons que Π est
un sous-ensemble parabolique de Σ(T ) et choisissons une telle base B et un tel
sous-ensemble B
. On sait que ˇ
B une base de ˇ
Σ(T ) ([30] VI.1.5, remarque 5). Pour
α ∈ Σ(T ), écrivons α =
β∈B c β β et ˇ
α =
ˇ
β∈ ˇ
B c ˇ
β
ˇ
β. On a c ˇ
β = c β (β, β)(α, α)
−1 .
La condition c β ≥ 0 pour β ∈ B
équivaut à c ˇ
β ≥ 0 pour ˇ
β ∈ ˇ
B
. Mais alors ˇ
Π
vérifie la condition requise (relativement à ˇ
B et ˇ
B
) pour être un sous-ensemble
parabolique de ˇ
Σ(T ). D’où (5).
Les ensembles Σ
M (T ) pour M semi-standard sont exactement ceux de la
forme Π ∩ (−Π), pour Π parabolique. Alors (5) entraîne (6).
Changement de terminologie. Dorénavant, on appellera «sous-groupe parabolique» de G ou «espace parabolique» de ˜
G de tels objets définis sur F . On appellera
«Levi» de G une composante de Levi définie sur F d’un sous-groupe parabolique
défini sur F et on appellera «espace de Levi» de ˜
G une composante de Levi définie
sur F d’un espace parabolique de ˜
G défini sur F .
On utilisera les notations d’Arthur concernant ces objets. Par exemple, pour
un espace de Levi ˜
M de ˜
G, on note L( ˜
M ) l’ensemble des espaces de Levi ˜
L
contenant ˜
M . On utilise des notations analogues pour les groupes et espaces duaux.
Notons (P 0 , M 0 ) la paire parabolique de
L ˜
G issue de ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 ), c’est-à-dire P 0 =
( ˆ
P 0 W F ) ˆ
θ, M 0 = ( ˆ
M 0 W F ) ˆ
θ. Alors
(7) il y a une bijection ˜
M → M de L( ˜
M 0 ) sur L(M 0 ) caractérisée ainsi : si M
est le Levi sous-jacent à ˜
M et ˆ
M le Levi sous-jacent à M, M s’envoie sur ˆ
M
par la bijection (6).
C’est évident puisque la bijection (6) est équivariante pour les actions galoisiennes et échange les actions de θ et de ˆ
θ
−1 .
Soient ˜
M et ˜
M deux espaces de Levi de ˜
G et soient ˜
M et ˜
M deux Levi
de
L ˜
G. On suppose que ˜
M et ˜
M s’identifient à
L ˜
M et
L ˜
M grâce à des choix de
paraboliques comme plus haut et on fixe de telles identifications. Notons
W ( ˜
M , ˜
M ) = {g ∈ G(F ); ad g ( ˜
M ) = ˜
M }/M (F ),
W ( ˜
M, ˜
M) = {x ∈ ˆ
G; ad x ( ˜
M) = ˜
M}/ ˆ
M.
Alors
(8) il y a une bijection naturelle entre W ( ˜
M , ˜
M ) et W ( ˜
M, ˜
M).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
une assertion analogue du côté dual. D’autre part, on peut identifier Σ( ˆ
T ) à l’ensemble de coracines ˇ
Σ(T ). Pour prouver (5), il suffit de prouver que, si Π est
un sous-ensemble parabolique de Σ(T ), alors l’ensemble ˇ
Π = { ˇ
α; α ∈ Π} est un
sous-ensemble parabolique de ˇ
Σ(T ). Notons V l’espace vectoriel réel engendré par
Σ(T ). On sait qu’à l’aide d’un produit euclidien convenable sur V , on peut identifier ˇ
Σ(T ) à un sous-ensemble de V . Précisément, pour α ∈ Σ(T ), ˇ
α s’identifie à
2α/(α, α). Soit Π ⊂ Σ(T ). On sait que c’est un sous-ensemble parabolique si et
seulement s’il existe une base B de Σ(T ) et un sous-ensemble B
⊂ B de sorte
que Π soit l’ensemble des α ∈ Σ(T ) qui s’écrivent α =
β∈B c β β avec des coefficients c β ≥ 0 pour β ∈ B
(cf. [30] VI.1.7 proposition 20). Supposons que Π est
un sous-ensemble parabolique de Σ(T ) et choisissons une telle base B et un tel
sous-ensemble B
. On sait que ˇ
B une base de ˇ
Σ(T ) ([30] VI.1.5, remarque 5). Pour
α ∈ Σ(T ), écrivons α =
β∈B c β β et ˇ
α =
ˇ
β∈ ˇ
B c ˇ
β
ˇ
β. On a c ˇ
β = c β (β, β)(α, α)
−1 .
La condition c β ≥ 0 pour β ∈ B
équivaut à c ˇ
β ≥ 0 pour ˇ
β ∈ ˇ
B
. Mais alors ˇ
Π
vérifie la condition requise (relativement à ˇ
B et ˇ
B
) pour être un sous-ensemble
parabolique de ˇ
Σ(T ). D’où (5).
Les ensembles Σ
M (T ) pour M semi-standard sont exactement ceux de la
forme Π ∩ (−Π), pour Π parabolique. Alors (5) entraîne (6).
Changement de terminologie. Dorénavant, on appellera «sous-groupe parabolique» de G ou «espace parabolique» de ˜
G de tels objets définis sur F . On appellera
«Levi» de G une composante de Levi définie sur F d’un sous-groupe parabolique
défini sur F et on appellera «espace de Levi» de ˜
G une composante de Levi définie
sur F d’un espace parabolique de ˜
G défini sur F .
On utilisera les notations d’Arthur concernant ces objets. Par exemple, pour
un espace de Levi ˜
M de ˜
G, on note L( ˜
M ) l’ensemble des espaces de Levi ˜
L
contenant ˜
M . On utilise des notations analogues pour les groupes et espaces duaux.
Notons (P 0 , M 0 ) la paire parabolique de
L ˜
G issue de ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 ), c’est-à-dire P 0 =
( ˆ
P 0 W F ) ˆ
θ, M 0 = ( ˆ
M 0 W F ) ˆ
θ. Alors
(7) il y a une bijection ˜
M → M de L( ˜
M 0 ) sur L(M 0 ) caractérisée ainsi : si M
est le Levi sous-jacent à ˜
M et ˆ
M le Levi sous-jacent à M, M s’envoie sur ˆ
M
par la bijection (6).
C’est évident puisque la bijection (6) est équivariante pour les actions galoisiennes et échange les actions de θ et de ˆ
θ
−1 .
Soient ˜
M et ˜
M deux espaces de Levi de ˜
G et soient ˜
M et ˜
M deux Levi
de
L ˜
G. On suppose que ˜
M et ˜
M s’identifient à
L ˜
M et
L ˜
M grâce à des choix de
paraboliques comme plus haut et on fixe de telles identifications. Notons
W ( ˜
M , ˜
M ) = {g ∈ G(F ); ad g ( ˜
M ) = ˜
M }/M (F ),
W ( ˜
M, ˜
M) = {x ∈ ˆ
G; ad x ( ˜
M) = ˜
M}/ ˆ
M.
Alors
(8) il y a une bijection naturelle entre W ( ˜
M , ˜
M ) et W ( ˜
M, ˜
M).