I.3. Levi et image du transfert
53
Preuve. Soit ( ˜
P, ˜
M) une paire parabolique de
L ˜
G. Le groupe P est bien déterminé : c’est le sous-groupe des x ∈
L G tels que x ˜
P = ˜
P. De même, le groupe
M est bien déterminé. Les groupes ˆ
P et ˆ
M sont bien déterminés : ce sont les
intersections de P et M avec ˆ
G. Il existe une unique paire parabolique standard
( ˆ
P
, ˆ
M
) de ˆ
G qui est conjuguée à ( ˆ
P , ˆ
M ). Quitte à effectuer une conjugaison, on
se ramène au cas où ( ˆ
P , ˆ
M ) est elle-même standard. Soit (g, w) ∈ P. Puisque P
est un groupe, la conjugaison par (g, w) conserve ˆ
P , autrement dit gw( ˆ
P )g
−1 = ˆ
P .
Puisque ( ˆ
B, ˆ
T ) est conservé par Γ F , w( ˆ
P ) est encore standard. Deux sous-groupes
paraboliques standard ne sont conjugués que s’ils sont égaux. Donc w( ˆ
P ) = ˆ
P .
L’égalité gw( ˆ
P )g
−1 = ˆ
P entraîne alors que g ∈ ˆ
P . Cela démontre que ˆ
P est
conservé par Γ F et que P = ˆ
P W F . Fixons un élément de l’ensemble ˜
P, qui n’est
pas vide. Quitte à le multiplier par un élément de P, on peut le supposer de la
forme g ˆ
θ, avec g ∈ ˆ
G. Cet élément normalise P, donc aussi son intersection ˆ
P avec
ˆ
G. De nouveau, parce que ˆ
θ( ˆ
P ) est standard, cela entraîne que ˆ
θ( ˆ
P ) = ˆ
P , puis que
g ∈ ˆ
P . Donc ˜
P = ( ˆ
P W F ) ˆ
θ. Un raisonnement analogue vaut pour les composantes de Levi : ˆ
M est nécessairement stable par Γ F et ˆ
θ et on a ˜
M = ( ˆ
M W F ) ˆ
θ.
L’assertion (4) s’ensuit.
Ainsi, les bijections précédentes se prolongent en une injection de l’ensemble
des classes de conjugaison de paires paraboliques de ˜
G définies sur F dans celui
des classes de conjugaison de paires paraboliques de
L ˜
G. C’est une bijection si et
seulement si G est quasi-déployé. Remarquons que, si la classe de ( ˜
P, ˜
M) correspond à celle de (P, M ) par cette application, le groupe M s’identifie à
L M et ˜
M
à
L ˜
M . Mais une telle identification n’est pas intrinsèque aux deux ensembles ˜
M
et ˜
M, elle dépend des paraboliques.
On aura aussi besoin de considérer des Levi ou sous-groupes paraboliques
semi-standard. Pour un sous-groupe parabolique P de G semi-standard, c’est-àdire contenant T , notons Σ
P (T ) l’ensemble des racines de T dans l’algèbre de
Lie de P . De même, pour un Levi semi-standard M de G, on définit l’ensemble
Σ
M (T ). Pour un sous-groupe parabolique semi-standard ˆ
P de ˆ
G, ou pour un Levi
semi-standard ˆ
M , on définit de même les ensembles de racines Σ
ˆ
P ( ˆ
T ) et Σ
ˆ
M ( ˆ
T ).
Montrons que
(5) il y a une bijection P → ˆ
P entre l’ensemble des sous-groupes paraboliques
semi-standard de G et celui des sous-groupes paraboliques semi-standard de
ˆ
G caractérisée par l’égalité Σ
ˆ
P ( ˆ
T ) = { ˆ
α; α ∈ Σ
P (T )} ;
(6) il y a une bijection M → ˆ
M entre l’ensemble des Levi semi-standard de G et
celui des Levi semi-standard de ˆ
G caractérisée par l’égalité Σ
ˆ
M ( ˆ
T ) = { ˆ
α; α ∈
Σ
M (T )}.
Preuve. L’application P → Σ
P (T ) est une bijection entre l’ensemble des sousgroupes paraboliques semi-standard de G et l’ensemble des sous-ensembles paraboliques Π ⊂ Σ(T ), cf. [30] VI.1.7 pour la définition de ces ensembles. On a