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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
sorte qu’elle devienne stable par l’action galoisienne et on fixe un élément ˆ
θ relatif
à cette paire, cf. 1.4.
Rappelons qu’il y a des bijections naturelles entre les divers ensembles suivants :
– les classes de conjugaison de paires paraboliques de G ;
– les paires paraboliques de G qui sont standard, c’est-à-dire qu’elles contiennent (B, T ) ;
– les classes de conjugaison de paires paraboliques de ˆ
G ;
– les paires paraboliques de ˆ
G qui sont standard, c’est-à-dire qu’elles contiennent ( ˆ
B, ˆ
T ).
Ces ensembles sont munis d’actions galoisiennes (sur le deuxième, c’est celle
provenant de l’action quasi-déployée σ → σ G ∗ ). Les bijections sont équivariantes
pour les actions galoisiennes. Celle entre paires standard transporte l’action de θ
sur celle de ˆ
θ
−1 . Ainsi, la paire (P 0 , M 0 ) correspond à une paire standard ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 )
qui est fixée par les actions de Γ F et ˆ
θ. Alors les bijections précédentes induisent
des bijections entre
– les classes de conjugaison de paires paraboliques de ˜
G définies sur F ;
– les paires paraboliques standard de G fixées par Γ F et θ et qui contiennent
(P 0 , M 0 ) ;
– les paires paraboliques standard de ˆ
G fixées par Γ F et ˆ
θ et qui contiennent
( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 ).
Appelons sous-groupe parabolique de
L G un sous-groupe P ⊂
L G pour lequel
la projection sur W F induit une suite exacte
1 → ˆ
P → P → W F → 1,
où ˆ
P est un sous-groupe parabolique de ˆ
G. Appelons composante de Levi d’un tel
sous-groupe un sous-groupe M ⊂ P pour lequel la projection sur W F induit une
suite exacte
1 → ˆ
M → M → W F → 1,
où ˆ
M est une composante de Levi de ˆ
P . Remarquons que P est déterminé par ˆ
P :
c’est le normalisateur de ˆ
P dans
L G. De même, M est déterminé par ˆ
P et ˆ
M .
Pour de tels P et M, notons ˜
P le normalisateur de P dans
L ˜
G =
L G ˆ
θ et ˜
M le
normalisateur commun de P et M. Si ˜
P n’est pas vide, ˜
M ne l’est pas non plus et
on appelle ˜
P un espace parabolique de
L ˜
G, ˜
M un espace de Levi de
L ˜
G et ( ˜
P, ˜
M)
une paire parabolique de
L ˜
G. Le groupe ˆ
G agit par conjugaison sur l’ensemble de
ces paires paraboliques. Montrons que
(4) l’ensemble des classes de conjugaison de paires paraboliques de
L ˜
G est en
bijection avec l’ensemble des paires paraboliques standard de ˆ
G qui sont
invariantes par Γ F et ˆ
θ.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
sorte qu’elle devienne stable par l’action galoisienne et on fixe un élément ˆ
θ relatif
à cette paire, cf. 1.4.
Rappelons qu’il y a des bijections naturelles entre les divers ensembles suivants :
– les classes de conjugaison de paires paraboliques de G ;
– les paires paraboliques de G qui sont standard, c’est-à-dire qu’elles contiennent (B, T ) ;
– les classes de conjugaison de paires paraboliques de ˆ
G ;
– les paires paraboliques de ˆ
G qui sont standard, c’est-à-dire qu’elles contiennent ( ˆ
B, ˆ
T ).
Ces ensembles sont munis d’actions galoisiennes (sur le deuxième, c’est celle
provenant de l’action quasi-déployée σ → σ G ∗ ). Les bijections sont équivariantes
pour les actions galoisiennes. Celle entre paires standard transporte l’action de θ
sur celle de ˆ
θ
−1 . Ainsi, la paire (P 0 , M 0 ) correspond à une paire standard ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 )
qui est fixée par les actions de Γ F et ˆ
θ. Alors les bijections précédentes induisent
des bijections entre
– les classes de conjugaison de paires paraboliques de ˜
G définies sur F ;
– les paires paraboliques standard de G fixées par Γ F et θ et qui contiennent
(P 0 , M 0 ) ;
– les paires paraboliques standard de ˆ
G fixées par Γ F et ˆ
θ et qui contiennent
( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 ).
Appelons sous-groupe parabolique de
L G un sous-groupe P ⊂
L G pour lequel
la projection sur W F induit une suite exacte
1 → ˆ
P → P → W F → 1,
où ˆ
P est un sous-groupe parabolique de ˆ
G. Appelons composante de Levi d’un tel
sous-groupe un sous-groupe M ⊂ P pour lequel la projection sur W F induit une
suite exacte
1 → ˆ
M → M → W F → 1,
où ˆ
M est une composante de Levi de ˆ
P . Remarquons que P est déterminé par ˆ
P :
c’est le normalisateur de ˆ
P dans
L G. De même, M est déterminé par ˆ
P et ˆ
M .
Pour de tels P et M, notons ˜
P le normalisateur de P dans
L ˜
G =
L G ˆ
θ et ˜
M le
normalisateur commun de P et M. Si ˜
P n’est pas vide, ˜
M ne l’est pas non plus et
on appelle ˜
P un espace parabolique de
L ˜
G, ˜
M un espace de Levi de
L ˜
G et ( ˜
P, ˜
M)
une paire parabolique de
L ˜
G. Le groupe ˆ
G agit par conjugaison sur l’ensemble de
ces paires paraboliques. Montrons que
(4) l’ensemble des classes de conjugaison de paires paraboliques de
L ˜
G est en
bijection avec l’ensemble des paires paraboliques standard de ˆ
G qui sont
invariantes par Γ F et ˆ
θ.