I.3. Levi et image du transfert
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I.3 Levi et image du transfert
I.3.1 Espaces paraboliques, espaces de Levi
Appelons paire parabolique un couple (P, M ) formé d’un sous-groupe parabolique
P de G et d’une composante de Levi M de P . Provisoirement, on ne suppose
pas que P ou M sont définis sur F . On note ˜
P le normalisateur de P dans ˜
G
( ˜
P = {γ ∈ ˜
G; ad γ (P ) = P }) et ˜
M le normalisateur commun de P et M . Si ˜
P n’est
pas vide, ˜
M ne l’est pas non plus (si P et M sont définis sur F , on a mieux : ˜
P (F )
et ˜
M (F ) sont tous deux non vides). On dit alors que ˜
P est un espace parabolique
de ˜
G, que ˜
M est un espace de Levi de ˜
G et que ( ˜
P , ˜
M ) est une paire parabolique
de ˜
G. Remarquons que ˜
P est uniquement déterminé par P , mais ˜
M n’est pas
uniquement déterminé par M . Toutefois, dans le cas particulier où ˜
G est à torsion
intérieure, ˜
P est toujours non vide et ˜
M est uniquement déterminé par M : c’est
l’ensemble des γ ∈ ˜
G tels que ad γ ∈ M/Z(G).
Exemples. Supposons G = GL(3). Posons
J =
⎛
⎝
0 0 1
0 −1 0
1 0 0
⎞
⎠ .
Notons θ
∗ l’automorphisme g → J
t g
−1 J de G et posons ˜
G = Gθ
∗ .
(1) Soit P le sous-groupe parabolique triangulaire supérieur à deux blocs de
longueurs 2 et 1. Alors ˜
P est vide.
(2) Soit P le sous-groupe de Borel triangulaire supérieur et M le sous-groupe
diagonal. Alors ˜
P = P θ
∗ , ˜
M = M θ
∗ . Soit s un élément du groupe de Weyl.
Posons P
= sP s
−1 et M
= sM s
−1 = M . Alors ˜
P
= s ˜
P s
−1 = sP θ
∗ (s)
−1 θ
∗
et ˜
M
= s ˜
M s
−1 = sM θ
∗ (s)
−1 θ
∗ . Si θ
∗ (s) = s, on a ˜
M
= ˜
M .
(3) Considérons le groupe
M =
⎧
⎨
⎩
⎛
⎝
0
0 0
0
⎞
⎠
⎫
⎬
⎭
.
C’est un Levi de G qui est stable par θ
∗ . Mais il n’y a aucun sous-groupe
parabolique P de G, de composante de Levi M , pour lequel ˜
P soit non vide.
Fixons une paire parabolique (P 0 , M 0 ) de G définie sur F et minimale. On
définit comme ci-dessus les normalisateurs ˜
P 0 et ˜
M 0 . Fixons une paire de Borel
épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G telle que T ⊂ M 0 et B ⊂ P 0 . Fixons e ∈
Z( ˜
G, E) (un tel élément n’a pas de raison d’appartenir à ˜
G(F )). On a ˜
M 0 = M 0 e,
˜
P 0 = P 0 e, et ˜
M 0 (F ) = ∅. On introduit l’action galoisienne σ → σ G ∗ qui préserve
la paire E, pour laquelle G devient quasi-déployé, cf. 1.2. Fixons une paire de Borel
épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G. On modifie l’isomorphisme
L G ˆ
G W F de
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I.3 Levi et image du transfert
I.3.1 Espaces paraboliques, espaces de Levi
Appelons paire parabolique un couple (P, M ) formé d’un sous-groupe parabolique
P de G et d’une composante de Levi M de P . Provisoirement, on ne suppose
pas que P ou M sont définis sur F . On note ˜
P le normalisateur de P dans ˜
G
( ˜
P = {γ ∈ ˜
G; ad γ (P ) = P }) et ˜
M le normalisateur commun de P et M . Si ˜
P n’est
pas vide, ˜
M ne l’est pas non plus (si P et M sont définis sur F , on a mieux : ˜
P (F )
et ˜
M (F ) sont tous deux non vides). On dit alors que ˜
P est un espace parabolique
de ˜
G, que ˜
M est un espace de Levi de ˜
G et que ( ˜
P , ˜
M ) est une paire parabolique
de ˜
G. Remarquons que ˜
P est uniquement déterminé par P , mais ˜
M n’est pas
uniquement déterminé par M . Toutefois, dans le cas particulier où ˜
G est à torsion
intérieure, ˜
P est toujours non vide et ˜
M est uniquement déterminé par M : c’est
l’ensemble des γ ∈ ˜
G tels que ad γ ∈ M/Z(G).
Exemples. Supposons G = GL(3). Posons
J =
⎛
⎝
0 0 1
0 −1 0
1 0 0
⎞
⎠ .
Notons θ
∗ l’automorphisme g → J
t g
−1 J de G et posons ˜
G = Gθ
∗ .
(1) Soit P le sous-groupe parabolique triangulaire supérieur à deux blocs de
longueurs 2 et 1. Alors ˜
P est vide.
(2) Soit P le sous-groupe de Borel triangulaire supérieur et M le sous-groupe
diagonal. Alors ˜
P = P θ
∗ , ˜
M = M θ
∗ . Soit s un élément du groupe de Weyl.
Posons P
= sP s
−1 et M
= sM s
−1 = M . Alors ˜
P
= s ˜
P s
−1 = sP θ
∗ (s)
−1 θ
∗
et ˜
M
= s ˜
M s
−1 = sM θ
∗ (s)
−1 θ
∗ . Si θ
∗ (s) = s, on a ˜
M
= ˜
M .
(3) Considérons le groupe
M =
⎧
⎨
⎩
⎛
⎝
0
0 0
0
⎞
⎠
⎫
⎬
⎭
.
C’est un Levi de G qui est stable par θ
∗ . Mais il n’y a aucun sous-groupe
parabolique P de G, de composante de Levi M , pour lequel ˜
P soit non vide.
Fixons une paire parabolique (P 0 , M 0 ) de G définie sur F et minimale. On
définit comme ci-dessus les normalisateurs ˜
P 0 et ˜
M 0 . Fixons une paire de Borel
épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G telle que T ⊂ M 0 et B ⊂ P 0 . Fixons e ∈
Z( ˜
G, E) (un tel élément n’a pas de raison d’appartenir à ˜
G(F )). On a ˜
M 0 = M 0 e,
˜
P 0 = P 0 e, et ˜
M 0 (F ) = ∅. On introduit l’action galoisienne σ → σ G ∗ qui préserve
la paire E, pour laquelle G devient quasi-déployé, cf. 1.2. Fixons une paire de Borel
épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G. On modifie l’isomorphisme
L G ˆ
G W F de