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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Notons Z(G) le centre de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de G.
D’après Harish-Chandra, on a l’isomorphisme Z(G) Sym(t(C))
W . On en déduit
des homomorphismes
(5) Z(G
1 ) Sym(t
1 (C))
W
→ Z(G
) Sym(t
(C))
W
← Z(G) Sym(t(C))
W .
Les automorphismes b et b
1 définis plus haut se restreignent en des automorphismes de Z(G) et Z(G
1 ) : cela résulte de (1). L’algèbre Z(G) agit à gauche et à
droite sur C
∞
c ( ˜
G(R)). L’algèbre Z(G
1 ) agit à gauche et à droite sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)).
On considère les actions à gauche.
Corollaire. Soient U
1 ∈ Z(G
1 ), U ∈ Z(G), f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)).
Supposons que f 1 soit un transfert de f et que (b
1 )
−1 (U
1 ) et b(U ) aient même
image dans Z(G
) par les homomorphismes (4). Alors U
1 f 1 est un transfert de U f .
Preuve. Soit δ 1 ∈ ˜
G
1 (R) un élément fortement ˜
G-régulier. On a
I
˜
G (δ 1 , f) = d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1 (δ 1 , γ)[Z G (γ, R) : G γ (R)]
−1 I
˜
G (γ, ω, f ),
cf. 2.5. Pour chaque γ dans l’ensemble de sommation, introduisons les fonctions
F f,γ et F
f,γ comme plus haut. La formule ci-dessus se récrit
I
˜
G (δ 1 , f) = d(θ
∗ )
1/2
γ
F
f,γ (δ 1 ).
Pour tout γ, on a l’égalité
F Uf,γ = U F f,γ .
Ceci est un théorème d’Harish-Chandra dans le cas non tordu et on vérifie que la
preuve s’étend dans notre cas. Cette relation jointe à (4) entraîne
F
Uf,γ = U
1 F
f,γ .
On en déduit
(6)
I
˜
G (δ 1 , Uf) = U
1 I
˜
G (δ 1 , f),
où, à droite, on considère I
˜
G (δ 1 , f) comme une fonction définie au voisinage de δ 1
dans T
1 (R)δ 1 , T
1 étant comme précédemment le commutant de δ 1 .
Une même relation vaut pour l’intégrale orbitale stable S
˜
G
(δ 1 , f 1 ). C’est en
fait essentiellement le cas particulier où ˜
G = ˜
G
. On obtient
(7)
S
˜
G
(δ 1 , U
1 f 1 ) = U
1 S
˜
G
(δ 1 , f 1 ).
Puisque f 1 est un transfert de f , les deux membres de droite de (6) et (7) sont
égaux. Donc aussi les deux membres de gauche. Cette dernière égalité signifie que
U
1 f 1 est un transfert de U f
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Notons Z(G) le centre de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de G.
D’après Harish-Chandra, on a l’isomorphisme Z(G) Sym(t(C))
W . On en déduit
des homomorphismes
(5) Z(G
1 ) Sym(t
1 (C))
W
→ Z(G
) Sym(t
(C))
W
← Z(G) Sym(t(C))
W .
Les automorphismes b et b
1 définis plus haut se restreignent en des automorphismes de Z(G) et Z(G
1 ) : cela résulte de (1). L’algèbre Z(G) agit à gauche et à
droite sur C
∞
c ( ˜
G(R)). L’algèbre Z(G
1 ) agit à gauche et à droite sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)).
On considère les actions à gauche.
Corollaire. Soient U
1 ∈ Z(G
1 ), U ∈ Z(G), f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)).
Supposons que f 1 soit un transfert de f et que (b
1 )
−1 (U
1 ) et b(U ) aient même
image dans Z(G
) par les homomorphismes (4). Alors U
1 f 1 est un transfert de U f .
Preuve. Soit δ 1 ∈ ˜
G
1 (R) un élément fortement ˜
G-régulier. On a
I
˜
G (δ 1 , f) = d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1 (δ 1 , γ)[Z G (γ, R) : G γ (R)]
−1 I
˜
G (γ, ω, f ),
cf. 2.5. Pour chaque γ dans l’ensemble de sommation, introduisons les fonctions
F f,γ et F
f,γ comme plus haut. La formule ci-dessus se récrit
I
˜
G (δ 1 , f) = d(θ
∗ )
1/2
γ
F
f,γ (δ 1 ).
Pour tout γ, on a l’égalité
F Uf,γ = U F f,γ .
Ceci est un théorème d’Harish-Chandra dans le cas non tordu et on vérifie que la
preuve s’étend dans notre cas. Cette relation jointe à (4) entraîne
F
Uf,γ = U
1 F
f,γ .
On en déduit
(6)
I
˜
G (δ 1 , Uf) = U
1 I
˜
G (δ 1 , f),
où, à droite, on considère I
˜
G (δ 1 , f) comme une fonction définie au voisinage de δ 1
dans T
1 (R)δ 1 , T
1 étant comme précédemment le commutant de δ 1 .
Une même relation vaut pour l’intégrale orbitale stable S
˜
G
(δ 1 , f 1 ). C’est en
fait essentiellement le cas particulier où ˜
G = ˜
G
. On obtient
(7)
S
˜
G
(δ 1 , U
1 f 1 ) = U
1 S
˜
G
(δ 1 , f 1 ).
Puisque f 1 est un transfert de f , les deux membres de droite de (6) et (7) sont
égaux. Donc aussi les deux membres de gauche. Cette dernière égalité signifie que
U
1 f 1 est un transfert de U f