I.2. Transfert
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Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)). On introduit la fonction F f,γ définie au voisinage de
γ dans T (R)γ par F f,γ (exp(X)γ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 I
˜
G (exp(X)γ, ω, f ) et la
fonction F
f,γ définie au voisinage de δ 1 dans T
1 (R)δ 1 par
F
f,γ (exp(Y 1 )δ 1 ) = Δ 1 (exp(Y 1 )δ 1 , exp(X)γ)[T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 I
˜
G (exp(X)γ, ω, f ),
où X est n’importe quel élément de t(R), assez petit, dont l’image dans t
(R)
coïncide avec celle de Y 1 (l’expression ne dépend pas de X : pour X assez proche
de 0, la classe de conjugaison de exp(X)γ est déterminée par l’image de X dans
t
(R)). La preuve du lemme montre que ces deux fonctions sont C
∞ (rappelons que
γ est fortement régulier). Le tore T (R) agit à gauche sur l’espace des fonctions sur
T (R)γ. Il s’en déduit une action par opérateurs différentiels de l’algèbre Sym(t(C))
sur l’espace des fonctions C
∞ définies au voisinage de γ dans T (R)γ. De même,
on a une action de Sym(t
1 (C)) sur l’espace des fonctions C
∞ définies au voisinage
de δ 1 dans T
1 (R)δ 1 .
Remarque. Une abondante littérature concernant les groupes réels privilégie les
actions à droite. On préfère les actions à gauche. On espère que cela ne créera pas
trop de perturbations.
On a des homomorphismes
Sym(t
1 (C)) → Sym(t
(C)) ← Sym(t(C)).
On définit un automorphisme b de Sym(t(C)) : c’est l’unique automorphisme tel
que, pour X ∈ t(C), on ait b(X) = X + b, X. On définit un automorphisme
b
1 de Sym(t
1 (C)) : c’est l’unique automorphisme tel que, pour Y 1 ∈ t
1 (C), on ait
b
1 (Y 1 ) = Y 1 + b, Y 1 . Montrons que
(4) soient U ∈ Sym(t(C)) et U
1 ∈ Sym(t
1 (C)) ; supposons que (b
1 )
−1 (U
1 ) et
b(U ) aient même image dans Sym(t
(C)) ; alors
U
1 F
f,γ (δ 1 ) = Δ 1 (δ 1 , γ)U F f,γ (γ).
Preuve. Considérons d’abord le cas où U
1 = Y 1 + b, Y 1 et U = X − −b, X,
avec Y 1 ∈ t
1 (R) et X ∈ t(R) ayant même image dans t
(R). Dans ce cas, la
relation cherchée résulte d’un simple calcul et du lemme précédent. En fait, on
obtient une relation plus générale : la fonction U
1 F
f,γ se déduit de U F f,γ comme
F
f,γ se déduit de F f,γ . Par récurrence, on obtient la même relation dans le cas
où U
1 = U
(1)
1
· · · U
(n)
1
et U = U
(1)
· · · U
(n) , si chaque couple (U
(i)
1 , U
(i) ) vérifie
les conditions ci-dessus. En général, on peut écrire (U
1 , U) comme combinaison
linéaire de tels couples (U
(1)
1
· · · U
(n)
1
, U
(1)
· · · U
(n) ) et d’un couple (U
1 , 0). Il nous
reste à traiter ce cas. Supposons donc U = 0. Alors U
1 appartient à l’idéal engendré
par les b 1 (Y 1 ) où Y 1 appartient au noyau de la projection t
1 (R) → t
(R). Il suffit
de prouver que pour un tel U
1 , on a U
1 F
f,γ = 0. Or cela résulte du premier cas
traité : il suffit de compléter Y 1 en le couple (Y 1 , X = 0).
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Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)). On introduit la fonction F f,γ définie au voisinage de
γ dans T (R)γ par F f,γ (exp(X)γ) = [T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 I
˜
G (exp(X)γ, ω, f ) et la
fonction F
f,γ définie au voisinage de δ 1 dans T
1 (R)δ 1 par
F
f,γ (exp(Y 1 )δ 1 ) = Δ 1 (exp(Y 1 )δ 1 , exp(X)γ)[T
θ (R) : T
θ,0 (R)]
−1 I
˜
G (exp(X)γ, ω, f ),
où X est n’importe quel élément de t(R), assez petit, dont l’image dans t
(R)
coïncide avec celle de Y 1 (l’expression ne dépend pas de X : pour X assez proche
de 0, la classe de conjugaison de exp(X)γ est déterminée par l’image de X dans
t
(R)). La preuve du lemme montre que ces deux fonctions sont C
∞ (rappelons que
γ est fortement régulier). Le tore T (R) agit à gauche sur l’espace des fonctions sur
T (R)γ. Il s’en déduit une action par opérateurs différentiels de l’algèbre Sym(t(C))
sur l’espace des fonctions C
∞ définies au voisinage de γ dans T (R)γ. De même,
on a une action de Sym(t
1 (C)) sur l’espace des fonctions C
∞ définies au voisinage
de δ 1 dans T
1 (R)δ 1 .
Remarque. Une abondante littérature concernant les groupes réels privilégie les
actions à droite. On préfère les actions à gauche. On espère que cela ne créera pas
trop de perturbations.
On a des homomorphismes
Sym(t
1 (C)) → Sym(t
(C)) ← Sym(t(C)).
On définit un automorphisme b de Sym(t(C)) : c’est l’unique automorphisme tel
que, pour X ∈ t(C), on ait b(X) = X + b, X. On définit un automorphisme
b
1 de Sym(t
1 (C)) : c’est l’unique automorphisme tel que, pour Y 1 ∈ t
1 (C), on ait
b
1 (Y 1 ) = Y 1 + b, Y 1 . Montrons que
(4) soient U ∈ Sym(t(C)) et U
1 ∈ Sym(t
1 (C)) ; supposons que (b
1 )
−1 (U
1 ) et
b(U ) aient même image dans Sym(t
(C)) ; alors
U
1 F
f,γ (δ 1 ) = Δ 1 (δ 1 , γ)U F f,γ (γ).
Preuve. Considérons d’abord le cas où U
1 = Y 1 + b, Y 1 et U = X − −b, X,
avec Y 1 ∈ t
1 (R) et X ∈ t(R) ayant même image dans t
(R). Dans ce cas, la
relation cherchée résulte d’un simple calcul et du lemme précédent. En fait, on
obtient une relation plus générale : la fonction U
1 F
f,γ se déduit de U F f,γ comme
F
f,γ se déduit de F f,γ . Par récurrence, on obtient la même relation dans le cas
où U
1 = U
(1)
1
· · · U
(n)
1
et U = U
(1)
· · · U
(n) , si chaque couple (U
(i)
1 , U
(i) ) vérifie
les conditions ci-dessus. En général, on peut écrire (U
1 , U) comme combinaison
linéaire de tels couples (U
(1)
1
· · · U
(n)
1
, U
(1)
· · · U
(n) ) et d’un couple (U
1 , 0). Il nous
reste à traiter ce cas. Supposons donc U = 0. Alors U
1 appartient à l’idéal engendré
par les b 1 (Y 1 ) où Y 1 appartient au noyau de la projection t
1 (R) → t
(R). Il suffit
de prouver que pour un tel U
1 , on a U
1 F
f,γ = 0. Or cela résulte du premier cas
traité : il suffit de compléter Y 1 en le couple (Y 1 , X = 0).