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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
type 2. Il est associé à α res un élément β ∈ Σ( ˆ
T
) si α est de type 1 et N ˆ
α(s) = 1
ou si α est de type 2 et N ˆ
α(s) = ±1 (si N ˆ
α(s) = −1, β est plus exactement associé
à 2α res qui est la restriction d’une racine de type 3). Alors ˇ
β
s’identifie à
⎧
⎨
⎩
N α,
si α est de type 1 et N ˆ
α(s) = 1;
2N α, si α est de type 2 et N ˆ
α(s) = 1;
N α,
si α est de type 2 et N ˆ
α(s) = −1.
Reprenons la classification en types (a), (b), (c) et (d) de la fin du paragraphe
2.2. Les formules ci-dessus conduisent à l’égalité
(3)
b ρ =
1
2
⎛
⎝
αres∈Σ de type (a) ou (c)
N α
⎞
⎠ +
⎛
⎝
αres∈Σ de type (b)
N α
⎞
⎠ ,
où on a noté Σ l’ensemble des α res ∈ Σ(T ) res,ind tels que σα res = −α res et α res > 0.
D’après les définitions et notre choix de χ-data, on a
Δ II (exp(λY )δ, exp(λX)γ)Δ II (δ, γ)
−1 =
αres∈Σ
C(z αres (λ)),
où
z αres (λ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(Nα)(ν(λ))−1
(Nα)(ν)−1 ,
dans le cas (a),
(Nα)(ν(λ))
2 −1
(Nα)(ν) 2 −1 , dans le cas (b),
(Nα)(ν(λ))+1
(Nα)(ν)+1 ,
dans le cas (c),
1,
dans le cas (d).
Parce que γ appartient à ˜
G(R), il résulte de 1.3(4) que l’image de ν dans T /(1 −
θ)(T )Z(G) est fixe par σ. Pour α ∈ Σ , on a σ(N α) = −N α. Ces deux propriétés
entraînent que (N α)(ν) est un nombre complexe de module 1. De même pour
(N α)(ν(λ)). Remarquons que (N α)(ν(λ)) = exp(λ N α, X)(N α)(ν). Un calcul
montre alors que pour λ proche de 0, on a
z αres (λ) ∈
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
exp(λ N α, X /2)R >0 , dans les cas (a) et (c),
exp(λ N α, X)R >0 ,
dans le cas (b),
R >0 ,
dans le cas (d).
En comparant avec (3), on en déduit
Δ II (exp(λY )δ, exp(λX)γ)Δ II (δ, γ)
−1 = exp(λ b ρ , X),
puis, grâce à (2)
Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ) = exp(λ b, X 1 ⊕ X).
Le lemme résulte de cette formule.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
type 2. Il est associé à α res un élément β ∈ Σ( ˆ
T
) si α est de type 1 et N ˆ
α(s) = 1
ou si α est de type 2 et N ˆ
α(s) = ±1 (si N ˆ
α(s) = −1, β est plus exactement associé
à 2α res qui est la restriction d’une racine de type 3). Alors ˇ
β
s’identifie à
⎧
⎨
⎩
N α,
si α est de type 1 et N ˆ
α(s) = 1;
2N α, si α est de type 2 et N ˆ
α(s) = 1;
N α,
si α est de type 2 et N ˆ
α(s) = −1.
Reprenons la classification en types (a), (b), (c) et (d) de la fin du paragraphe
2.2. Les formules ci-dessus conduisent à l’égalité
(3)
b ρ =
1
2
⎛
⎝
αres∈Σ de type (a) ou (c)
N α
⎞
⎠ +
⎛
⎝
αres∈Σ de type (b)
N α
⎞
⎠ ,
où on a noté Σ l’ensemble des α res ∈ Σ(T ) res,ind tels que σα res = −α res et α res > 0.
D’après les définitions et notre choix de χ-data, on a
Δ II (exp(λY )δ, exp(λX)γ)Δ II (δ, γ)
−1 =
αres∈Σ
C(z αres (λ)),
où
z αres (λ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(Nα)(ν(λ))−1
(Nα)(ν)−1 ,
dans le cas (a),
(Nα)(ν(λ))
2 −1
(Nα)(ν) 2 −1 , dans le cas (b),
(Nα)(ν(λ))+1
(Nα)(ν)+1 ,
dans le cas (c),
1,
dans le cas (d).
Parce que γ appartient à ˜
G(R), il résulte de 1.3(4) que l’image de ν dans T /(1 −
θ)(T )Z(G) est fixe par σ. Pour α ∈ Σ , on a σ(N α) = −N α. Ces deux propriétés
entraînent que (N α)(ν) est un nombre complexe de module 1. De même pour
(N α)(ν(λ)). Remarquons que (N α)(ν(λ)) = exp(λ N α, X)(N α)(ν). Un calcul
montre alors que pour λ proche de 0, on a
z αres (λ) ∈
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
exp(λ N α, X /2)R >0 , dans les cas (a) et (c),
exp(λ N α, X)R >0 ,
dans le cas (b),
R >0 ,
dans le cas (d).
En comparant avec (3), on en déduit
Δ II (exp(λY )δ, exp(λX)γ)Δ II (δ, γ)
−1 = exp(λ b ρ , X),
puis, grâce à (2)
Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ) = exp(λ b, X 1 ⊕ X).
Le lemme résulte de cette formule.