I.2. Transfert
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Calculons b 1 . Pour w ∈ W C , les formules de 2.2 se simplifient : ω T (w) = 1 et
ω T,G (w) = 1. D’où
ˆ
V T1 (w) = (ζ 1 (w), ˆ
r T (w)g(w)
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 ).
Cet homomorphisme est le produit de ρ
−1 et de l’image naturelle de l’homomorphisme ρ
de C
× dans ˆ
T défini par
ρ
(w) = ˆ
r T (w)ˆ r T,G (w)
−1 .
On obtient ainsi
(2)
Δ imp (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ) =
ˆ
V T1 , exp(λZ)
−1
= exp(λ b, Y 1 ⊕ X) exp(−λ b ρ , X).
On va calculer b ρ . Pour définir le bifacteur de transfert, on a dû fixer un
sous-groupe de Borel B contenant T , qui détermine une positivité sur Σ(T ) res,ind .
Notons σ la conjugaison complexe et notons C le caractère de C
× défini par
C(w) =
w
|w| , où ici |w| = ( ¯
ww)
1/2 . On peut choisir nos χ-data telles que, pour
α res ∈ Σ(T ) res,ind ,
χ αres =
⎧
⎨
⎩
1,
si σα res = −α res ,
C,
si σα res = −α res et α res > 0,
C
−1 , si σα res = −α res et α res < 0.
Avec ces définitions, on voit que, pour w ∈ W C , on a
ˆ
r T (w) =
β∈Σ( ˆ
T ) res,ind ;σβ=−β,β>0
ˇ
β ◦ C(w),
ˆ
r T,G (w) =
β∈Σ( ˆ
T );σβ=−β,β>0
ˇ
β
◦ C(w).
Attention : on a noté ˇ
β la coracine pour le groupe ˆ
G
ˆ
θ,0 associée à β ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind
et ˇ
β
celle pour le groupe ˆ
G
associée à β ∈ Σ( ˆ
T
). On déduit de ces formules
l’égalité
b ρ =
1
2
β∈Σ( ˆ
T ) res,ind ;σβ=−β,β>0
ˇ
β
−
1
2
β∈Σ( ˆ
T );σβ=−β,β>0
ˇ
β
.
On doit identifier toutes ces coracines à des caractères de T . Pour cela, on utilise
1.6. Soit α res un élément de Σ(T ) res,ind , qui est la restriction d’un élément α ∈ Σ
de type 1 ou 2 (puisque α res est indivisible). Il lui est toujours associé un élément
β = (ˆ α) res ∈ Σ( ˆ
T ) res,ind et ˇ
β s’identifie à N α si α est de type 1, à 2N α si α est de