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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
au niveau des algèbres de Lie. L’élément b s’identifie à un élément de t
1 (C)
∗
⊕t(C)
∗ .
Soient Y 1 ∈ t
1 (R) et X ∈ t(R) ayant même image Y dans t
(R). Pour λ ∈ R assez
proche de 0, le couple (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ) appartient à D 1 . On dispose donc
du facteur de transfert Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ).
Lemme. La fonction
λ → Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ)
est C
∞ au voisinage de 0. On a l’égalité
d
dλ
Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ) |λ=0 = b, Y 1 ⊕ X Δ 1 (δ 1 , γ).
Preuve. Dans ces assertions, on peut remplacer Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ) par
Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ).
Reprenons les constructions de 2.2 pour calculer ce bifacteur. On ajoute un λ dans
les notations et on le supprime de nouveau pour noter les valeurs en λ = 0. Par
exemple, on note ν 1 (λ) le terme noté ν 1 en 2.2 et on pose ν 1 = ν 1 (0). Dans la définition de Δ imp (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ), le seul terme qui dépend vraiment de
λ est ν 1 (λ). Ce terme est le produit de ν 1 et de l’image de (exp(λY 1 ), exp(λX)) ∈
T 1 (R) par l’homomorphisme naturel T 1 (R) → S 1 (R).Posons simplement Z =
Y 1 ⊕ X ∈ X ∗ (T 1 ) ⊗ C. Une propriété de compatibilité déjà utilisée entraîne alors
l’égalité
Δ imp (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ) =
ˆ
V T1 , exp(λZ)
−1 Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
En fait, le dernier terme vaut 1. Le cocycle ˆ
V T1 définit un caractère disons ω T1 de
T 1 (R). Par une propriété générale, la restriction ˆ
V T1,C de ˆ
V T1 à W C = C
× définit le
caractère ω T1 ◦ Norm de T 1 (C), où Norm : T 1 (C) → T 1 (R) est la norme habituelle.
On a exp(λZ) = Norm(exp(λZ/2)) d’où
ˆ
V T1 , exp(λZ)
=
ˆ
V T1,C , exp(λZ/2))
.
Ce dernier terme est calculé dans [27] 9.1. En notant simplement b 1 et b
1 les
éléments de X ∗ ( ˆ
T 1 ) ⊗ C = X
∗ (T 1 ) ⊗ C associés à ˆ
V T1,C , on a
ˆ
V T1,C , exp(λZ/2)
= exp
λ
b 1 , Z +
b
1 , ¯
Z
/2
,
où Z → ¯
Z est l’identité sur X ∗ (T 1 ) et la conjugaison complexe sur C. Parce que
ˆ
V T1,C est la restriction d’un cocycle défini sur W R , on a
b
1 , ¯
Z
= b 1 , σ(Z) où
σ est le produit des deux conjugaisons complexes sur X ∗ (T 1 ) et C. Mais Z est
défini sur R donc σ(Z) = Z et le terme ci-dessus vaut simplement exp(λ b 1 , Z).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
au niveau des algèbres de Lie. L’élément b s’identifie à un élément de t
1 (C)
∗
⊕t(C)
∗ .
Soient Y 1 ∈ t
1 (R) et X ∈ t(R) ayant même image Y dans t
(R). Pour λ ∈ R assez
proche de 0, le couple (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ) appartient à D 1 . On dispose donc
du facteur de transfert Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ).
Lemme. La fonction
λ → Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ)
est C
∞ au voisinage de 0. On a l’égalité
d
dλ
Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ) |λ=0 = b, Y 1 ⊕ X Δ 1 (δ 1 , γ).
Preuve. Dans ces assertions, on peut remplacer Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ) par
Δ 1 (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ).
Reprenons les constructions de 2.2 pour calculer ce bifacteur. On ajoute un λ dans
les notations et on le supprime de nouveau pour noter les valeurs en λ = 0. Par
exemple, on note ν 1 (λ) le terme noté ν 1 en 2.2 et on pose ν 1 = ν 1 (0). Dans la définition de Δ imp (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ), le seul terme qui dépend vraiment de
λ est ν 1 (λ). Ce terme est le produit de ν 1 et de l’image de (exp(λY 1 ), exp(λX)) ∈
T 1 (R) par l’homomorphisme naturel T 1 (R) → S 1 (R).Posons simplement Z =
Y 1 ⊕ X ∈ X ∗ (T 1 ) ⊗ C. Une propriété de compatibilité déjà utilisée entraîne alors
l’égalité
Δ imp (exp(λY 1 )δ 1 , exp(λX)γ; δ 1 , γ) =
ˆ
V T1 , exp(λZ)
−1 Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
En fait, le dernier terme vaut 1. Le cocycle ˆ
V T1 définit un caractère disons ω T1 de
T 1 (R). Par une propriété générale, la restriction ˆ
V T1,C de ˆ
V T1 à W C = C
× définit le
caractère ω T1 ◦ Norm de T 1 (C), où Norm : T 1 (C) → T 1 (R) est la norme habituelle.
On a exp(λZ) = Norm(exp(λZ/2)) d’où
ˆ
V T1 , exp(λZ)
=
ˆ
V T1,C , exp(λZ/2))
.
Ce dernier terme est calculé dans [27] 9.1. En notant simplement b 1 et b
1 les
éléments de X ∗ ( ˆ
T 1 ) ⊗ C = X
∗ (T 1 ) ⊗ C associés à ˆ
V T1,C , on a
ˆ
V T1,C , exp(λZ/2)
= exp
λ
b 1 , Z +
b
1 , ¯
Z
/2
,
où Z → ¯
Z est l’identité sur X ∗ (T 1 ) et la conjugaison complexe sur C. Parce que
ˆ
V T1,C est la restriction d’un cocycle défini sur W R , on a
b
1 , ¯
Z
= b 1 , σ(Z) où
σ est le produit des deux conjugaisons complexes sur X ∗ (T 1 ) et C. Mais Z est
défini sur R donc σ(Z) = Z et le terme ci-dessus vaut simplement exp(λ b 1 , Z).