I.2. Transfert
45
b
λ ∈ X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C de sorte que b λ − b
λ ∈ X ∗ ( ˆ
T ) et λ(w) = (b λ − b
λ )(w)b
λ (w ¯
w) pour
tout w ∈ C
× . A notre homomorphisme ρ sont ainsi associés b ρ et b
ρ ∈ X ∗ ( ˆ
T) ⊗ C.
On a une suite exacte
0 → X ∗ ( ˆ
T
ˆ
θ,0 ) ⊗ C
x →( ˆ
ξ1(x),−x)
→
(X ∗ ( ˆ
T
1 ) ⊗ C) ⊕ (X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C)
ˆ
p
→ X ∗ ( ˆ
T) ⊗ C → 0
L’espace (X ∗ ( ˆ
T
1 ) ⊗ C) ⊕ (1 − ˆ
θ)(X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C) est un supplémentaire du noyau de
ˆ
p et s’identifie donc à X ∗ ( ˆ
T) ⊗ C. On peut considérer que b ρ et b
ρ appartiennent
à ce supplémentaire et on pose simplement b = b ρ . Montrons que
(1) b appartient à (X ∗ (Z( ˆ
G
1 )
0 ) ⊗ C) ⊕ (1 − ˆ
θ)(X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C).
Preuve. Notons b 1 et b 2 les deux composantes de b. Soit α une racine de ˆ
T
1 dans
ˆ
G
1 . On veut montrer que α, b 1 = 0. La racine α se restreint (via ˆ
ξ 1 ) en une
racine de ˆ
T
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
, qui est la restriction d’une racine β de ˆ
T dans ˆ
G. On
définit N β comme en 1.6 et on note n(β) l’entier positif tel que la restriction
de N β à ˆ
T
ˆ
θ,0 coïncide avec celle de n(β)α. L’élément (n(β)α, N β) appartient
à X
∗ ( ˆ
T). Parce que N β est invariant par ˆ
θ, on a N β, b 2 = 0, d’où l’égalité
n(β) α, b 1 = (n(β)α, N β), b. Pour prouver que ce terme est nul, il suffit de
prouver que (n(β)α, N β) ◦ ρ(w) = 1 pour tout w ∈ C
× . Mais α(ζ 1 (w)) = 1 parce
que ζ 1 (w) est central dans ˆ
G
1 et (N β)(g(w)) = 1 parce que β se restreint en
une racine de ˆ
G
et que g w agit par l’identité sur ce groupe. Cela prouve que b 1
est central. Notons ρ
l’homomorphisme de C
× dans (1 − ˆ
θ)( ˆ
T ) défini par ρ
(w) =
(1− ˆ
θ)(g(w)). On a (1− ˆ
θ)(b 2 ) = b ρ . On a la relation s ˆ
θ(g(w))w G (s)
−1 = a(w)g(w),
où a est un cocycle de W R dans Z( ˆ
G), de classe a. Ici, on se restreint à w ∈ C
×
donc w G = 1. De plus, s commute à g(w) ∈ ˆ
T . L’égalité précédente se simplifie en
ρ
(w) = a(w)
−1 . L’application a, restreinte à C
× , est un homomorphisme continu
dont l’image est connexe, donc contenue dans Z( ˆ
G)
0 . On obtient b a = −b ρ =
( ˆ
θ − 1)(b 2 ). D’où b a ∈ (1 − ˆ
θ)(X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C) ∩ X∗(Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C. La décomposition
X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C = (X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C) ⊕ (X ∗ ( ˆ
T sc ) ⊗ C)
est stable par 1 − ˆ
θ et cela entraîne que l’intersection précédente est égale à
(1 − ˆ
θ)(X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C) ou encore à (1 − ˆ
θ)
2 (X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C).
L’égalité b a = ( ˆ
θ−1)(b 2 ) et l’injectivité de (1− ˆ
θ) sur (1− ˆ
θ)(X ∗ ( ˆ
T )⊗C) entraînent
alors que b 2 appartient à (1 − ˆ
θ)(X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C).
Soit (δ 1 , γ) ∈ D 1 . On note T
1 et T
les commutants de δ 1 dans G
1 et de δ
dans G
et on note T le commutant de G γ dans G. On a des projections
T
1 → T
← T
définies sur R, d’où des projections
t
1 → t
← t
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b
λ ∈ X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C de sorte que b λ − b
λ ∈ X ∗ ( ˆ
T ) et λ(w) = (b λ − b
λ )(w)b
λ (w ¯
w) pour
tout w ∈ C
× . A notre homomorphisme ρ sont ainsi associés b ρ et b
ρ ∈ X ∗ ( ˆ
T) ⊗ C.
On a une suite exacte
0 → X ∗ ( ˆ
T
ˆ
θ,0 ) ⊗ C
x →( ˆ
ξ1(x),−x)
→
(X ∗ ( ˆ
T
1 ) ⊗ C) ⊕ (X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C)
ˆ
p
→ X ∗ ( ˆ
T) ⊗ C → 0
L’espace (X ∗ ( ˆ
T
1 ) ⊗ C) ⊕ (1 − ˆ
θ)(X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C) est un supplémentaire du noyau de
ˆ
p et s’identifie donc à X ∗ ( ˆ
T) ⊗ C. On peut considérer que b ρ et b
ρ appartiennent
à ce supplémentaire et on pose simplement b = b ρ . Montrons que
(1) b appartient à (X ∗ (Z( ˆ
G
1 )
0 ) ⊗ C) ⊕ (1 − ˆ
θ)(X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C).
Preuve. Notons b 1 et b 2 les deux composantes de b. Soit α une racine de ˆ
T
1 dans
ˆ
G
1 . On veut montrer que α, b 1 = 0. La racine α se restreint (via ˆ
ξ 1 ) en une
racine de ˆ
T
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
, qui est la restriction d’une racine β de ˆ
T dans ˆ
G. On
définit N β comme en 1.6 et on note n(β) l’entier positif tel que la restriction
de N β à ˆ
T
ˆ
θ,0 coïncide avec celle de n(β)α. L’élément (n(β)α, N β) appartient
à X
∗ ( ˆ
T). Parce que N β est invariant par ˆ
θ, on a N β, b 2 = 0, d’où l’égalité
n(β) α, b 1 = (n(β)α, N β), b. Pour prouver que ce terme est nul, il suffit de
prouver que (n(β)α, N β) ◦ ρ(w) = 1 pour tout w ∈ C
× . Mais α(ζ 1 (w)) = 1 parce
que ζ 1 (w) est central dans ˆ
G
1 et (N β)(g(w)) = 1 parce que β se restreint en
une racine de ˆ
G
et que g w agit par l’identité sur ce groupe. Cela prouve que b 1
est central. Notons ρ
l’homomorphisme de C
× dans (1 − ˆ
θ)( ˆ
T ) défini par ρ
(w) =
(1− ˆ
θ)(g(w)). On a (1− ˆ
θ)(b 2 ) = b ρ . On a la relation s ˆ
θ(g(w))w G (s)
−1 = a(w)g(w),
où a est un cocycle de W R dans Z( ˆ
G), de classe a. Ici, on se restreint à w ∈ C
×
donc w G = 1. De plus, s commute à g(w) ∈ ˆ
T . L’égalité précédente se simplifie en
ρ
(w) = a(w)
−1 . L’application a, restreinte à C
× , est un homomorphisme continu
dont l’image est connexe, donc contenue dans Z( ˆ
G)
0 . On obtient b a = −b ρ =
( ˆ
θ − 1)(b 2 ). D’où b a ∈ (1 − ˆ
θ)(X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C) ∩ X∗(Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C. La décomposition
X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C = (X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C) ⊕ (X ∗ ( ˆ
T sc ) ⊗ C)
est stable par 1 − ˆ
θ et cela entraîne que l’intersection précédente est égale à
(1 − ˆ
θ)(X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C) ou encore à (1 − ˆ
θ)
2 (X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C).
L’égalité b a = ( ˆ
θ−1)(b 2 ) et l’injectivité de (1− ˆ
θ) sur (1− ˆ
θ)(X ∗ ( ˆ
T )⊗C) entraînent
alors que b 2 appartient à (1 − ˆ
θ)(X ∗ (Z( ˆ
G)
0 ) ⊗ C).
Soit (δ 1 , γ) ∈ D 1 . On note T
1 et T
les commutants de δ 1 dans G
1 et de δ
dans G
et on note T le commutant de G γ dans G. On a des projections
T
1 → T
← T
définies sur R, d’où des projections
t
1 → t
← t