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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Les termes ˆ
r T (w), ˆ
n(ω T (w)) et ˆ
r T,G (w) sont invariants par ˆ
θ. D’où
(1 − ˆ
θ)(t
Tsc (w)) = ˆ
θ(ˆ n G (ω T,G (w))g sc (w))g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 .
On peut remplacer ˆ
θ par ad s
−1
sc
◦ ad ssc ◦ ˆ
θ. Or ad ssc ◦ ˆ
θ fixe ˆ
n G (ω T,G (w)) (par définition de ˆ
G
) et envoie g sc (w) sur a sc (w)g sc (w)w G (s sc )s
−1
sc . D’où
(1 − ˆ
θ)(t
Tsc (w))
= s
−1
sc ˆ
n G (ω T,G (w))a sc (w)g sc (w)w G (s sc )g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 .
Le terme a sc (w) est central. Le composé de la conjugaison par ˆ
n G (ω T,G (w))g sc (w)
et de l’opérateur w G n’est autre que l’opérateur w T . On obtient
(1 − ˆ
θ)(t
Tsc (w)) = s
−1
sc w T (s sc )a sc (w).
Le cocycle ˆ
V
1 est donc l’image naturelle de z par l’homomorphisme Z( ˆ
G ) → ˆ
T
et de l’image naturelle du cocycle w → s
−1
sc w T (s sc ) ∈ ˆ
T sc . Or le couple formé de
cette image et de s ad est un cobord. Donc la classe de ( ˆ
V
1 , s ad ) est égale à l’image
de z par l’homomorphisme
H
1 (W F ; Z( ˆ
G )) → H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad ).
D’autre part, le couple (x sc , z) est l’image naturelle de x ∈ G (F ) par la suite
d’applications
G (F ) → G ,ab (F ) H
1,0 (Γ F ; T sc → T /Z(G)
θ ).
D’après 1.13, le produit de (x sc , z) et de ( ˆ
V
1 , s ad ) est égal à ω (x).
I.2.8 Le cas F = R
On suppose F = R. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante
de (G, ˜
G, a). On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . Le groupe W R contient
W C = C
× comme sous-groupe d’indice 2. Pour w ∈ W C , soit g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse sur ˆ
G
comme w G , c’est-à-dire par l’identité. Nécessairement,
g(w) appartient à ˆ
T . On a aussi ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w), avec ζ 1 (w) ∈ Z( ˆ
G
1 ) ⊂ ˆ
T
1 .
Notons ˆ
T le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T par l’image de ˆ
T
ˆ
θ,0 plongé par t → (ξ 1 (t), t
−1 ).
On note ρ(w) l’image de (ζ 1 (w)
−1 , g(w)) dans ˆ
T. Cette image ne dépend pas du
choix de g w et l’application ρ ainsi définie est un homomorphisme continu de
C
× à valeurs dans ˆ
T. Rappelons les propriétés suivantes, valables pour tout tore
complexe ˆ
T . A tout élément b ∈ X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C est associé un homomorphisme du
groupe multiplicatif R >0 dans ˆ
T : on écrit b =
i=1,...,n s i b i avec des b i ∈ X ∗ ( ˆ
T )
et des s i complexes ; pour x ∈ R >0 , on pose b(x) =
i=1,...,n b i (x
si ). Si λ est un
homomorphisme continu de C
× dans un tore complexe ˆ
T , il existe d’uniques b λ ,
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Les termes ˆ
r T (w), ˆ
n(ω T (w)) et ˆ
r T,G (w) sont invariants par ˆ
θ. D’où
(1 − ˆ
θ)(t
Tsc (w)) = ˆ
θ(ˆ n G (ω T,G (w))g sc (w))g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 .
On peut remplacer ˆ
θ par ad s
−1
sc
◦ ad ssc ◦ ˆ
θ. Or ad ssc ◦ ˆ
θ fixe ˆ
n G (ω T,G (w)) (par définition de ˆ
G
) et envoie g sc (w) sur a sc (w)g sc (w)w G (s sc )s
−1
sc . D’où
(1 − ˆ
θ)(t
Tsc (w))
= s
−1
sc ˆ
n G (ω T,G (w))a sc (w)g sc (w)w G (s sc )g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 .
Le terme a sc (w) est central. Le composé de la conjugaison par ˆ
n G (ω T,G (w))g sc (w)
et de l’opérateur w G n’est autre que l’opérateur w T . On obtient
(1 − ˆ
θ)(t
Tsc (w)) = s
−1
sc w T (s sc )a sc (w).
Le cocycle ˆ
V
1 est donc l’image naturelle de z par l’homomorphisme Z( ˆ
G ) → ˆ
T
et de l’image naturelle du cocycle w → s
−1
sc w T (s sc ) ∈ ˆ
T sc . Or le couple formé de
cette image et de s ad est un cobord. Donc la classe de ( ˆ
V
1 , s ad ) est égale à l’image
de z par l’homomorphisme
H
1 (W F ; Z( ˆ
G )) → H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad ).
D’autre part, le couple (x sc , z) est l’image naturelle de x ∈ G (F ) par la suite
d’applications
G (F ) → G ,ab (F ) H
1,0 (Γ F ; T sc → T /Z(G)
θ ).
D’après 1.13, le produit de (x sc , z) et de ( ˆ
V
1 , s ad ) est égal à ω (x).
I.2.8 Le cas F = R
On suppose F = R. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante
de (G, ˜
G, a). On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . Le groupe W R contient
W C = C
× comme sous-groupe d’indice 2. Pour w ∈ W C , soit g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse sur ˆ
G
comme w G , c’est-à-dire par l’identité. Nécessairement,
g(w) appartient à ˆ
T . On a aussi ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w), avec ζ 1 (w) ∈ Z( ˆ
G
1 ) ⊂ ˆ
T
1 .
Notons ˆ
T le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T par l’image de ˆ
T
ˆ
θ,0 plongé par t → (ξ 1 (t), t
−1 ).
On note ρ(w) l’image de (ζ 1 (w)
−1 , g(w)) dans ˆ
T. Cette image ne dépend pas du
choix de g w et l’application ρ ainsi définie est un homomorphisme continu de
C
× à valeurs dans ˆ
T. Rappelons les propriétés suivantes, valables pour tout tore
complexe ˆ
T . A tout élément b ∈ X ∗ ( ˆ
T ) ⊗ C est associé un homomorphisme du
groupe multiplicatif R >0 dans ˆ
T : on écrit b =
i=1,...,n s i b i avec des b i ∈ X ∗ ( ˆ
T )
et des s i complexes ; pour x ∈ R >0 , on pose b(x) =
i=1,...,n b i (x
si ). Si λ est un
homomorphisme continu de C
× dans un tore complexe ˆ
T , il existe d’uniques b λ ,