I.2. Transfert
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On a aussi
x
−1 γx = z
−1 x
−1
sc νex sc z = z
−1 θ(z)x
−1
sc νx sc e,
d’où ν = z
−1 θ(z)x
−1
sc νx sc .
Le couple (x sc , z) appartient à Z
1,0 (Γ F ; T sc → T /Z(G)
θ ). On a le diagramme
commutatif
T sc
/ / T /Z(G)
θ
1−θ
U
1−θ
/ / S 1
d’où un homomorphisme
(3)
H
1,0 (Γ F ; T sc → T /Z(G)
θ ) → H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ).
Le terme (V, ν 1 ) est le produit de l’inverse de l’image de (x sc , z) par cet homomorphisme et d’un élément (V
, ν
1 ) qu’il est facile de reconnaître : en identifiant T
à T par ad xsc , (V
, ν
1 ) est le cocycle associé au quadruplet diagonal (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
Du côté dual, la conjugaison par x ne se voit pas et le cocycle ( ˆ
V 1 , s) est le même
que celui associé à cette paire diagonale. On a donc
(V
, ν
1 ), ( ˆ
V 1 , s)
= Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
−1 = 1.
Donc Δ 1 (δ 1 , x
−1 γx; δ 1 , γ) est le produit de (x sc , z) et de l’image dans
H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad )
de ( ˆ
V 1 , s) par l’homomorphisme dual de (3). Par l’homomorphisme
ˆ
T → ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 ,
le cocycle t T définit un cocycle à valeurs dans ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 , que nous notons t
T . Le
cocycle (t
T
−1 , 1) à valeurs dans ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0
× ˆ
T sc se descend par la suite (2) en un
cocycle ˆ
V
1 à valeurs dans ˆ
T . Notons s ad l’image de s dans ˆ
T ad . On voit que
l’image de ( ˆ
V 1 , s) dans H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad ) est la classe du couple ( ˆ
V
1 , s ad ).
Remarque. L’inversion de t
T provient du fait que, dans la suite (1), l’homomorphisme T /Z(G)
θ
→ T /T
θ est l’inverse de l’homomorphisme naturel.
Notons t
Tsc l’image de la cochaîne t Tsc par l’homomorphisme
ˆ
T sc → ˆ
T sc / ˆ
T
ˆ
θ
sc .
On ne change pas ˆ
V
1 en multipliant la cochaîne (t
T
−1 , 1) par l’image par le premier
homomorphisme de la suite (2) de la cochaîne t
Tsc , autrement dit en remplaçant
(t
T
−1 , 1) par (t
T
−1 π(t
Tsc ), (1 − ˆ
θ)(t
Tsc )). On a
t
T (w)
−1 π(t
Tsc (w)) = z(w).