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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
suite exacte
1 → T /Z(G)
θ
→ (1 − θ)(T ) × T ad → (1 − θ)(T ad ) → 1.
Dualement, en fixant une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G et en utilisant les notations
de 1.4, un tore maximal ˆ
T de ˆ
G s’insère dans une suite exacte
(2)
1 → ˆ
T sc / ˆ
T
ˆ
θ
sc
(π,1− ˆ
θ)
→ ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0
× ˆ
T sc → ˆ
T → 1.
Dualement à l’homomorphisme T sc → T /Z(G)
θ , on dispose d’un homomorphisme
ˆ
T → ˆ
T ad . Puisque Z( ˆ
G ) est le noyau de cet homomorphisme, on déduit aisément
de la suite ci-dessus la suite exacte
1 → Z( ˆ
G SC )/Z( ˆ
G SC )
ˆ
θ (π,1− ˆ
θ)
→ Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ) × Z( ˆ
G SC ) → Z( ˆ
G ) → 1.
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). On
suppose que ˆ
E est adaptée à cette donnée, cf. 1.5. En particulier ˜
s = s ˆ
θ, avec
s ∈ ˆ
T . Pour w ∈ W F , choisissons un élément de (g(w), w) ∈ G
se projetant sur
w. Choisissons z(w) ∈ Z( ˆ
G) et g sc (w) ∈ ˆ
G SC tels que g(w) = z(w)π(g sc (w)).
Choisissons s sc ∈ ˆ
G SC qui a même image que s dans ˆ
G AD . On définit a sc (w) ∈
ˆ
G SC par
s sc ˆ
θ(g sc (w))w(s sc )
−1 = a sc (w)g sc (w).
On note z (w) l’image de (z(w), a sc (w)) dans Z( ˆ
G ) par l’application de la suite
ci-dessus. On vérifie que ce terme ne dépend pas des différents choix effectués et
que la fonction z ainsi définie est un cocycle. Celui-ci définit un caractère ω de
G (F ).
Attention : le caractère ω dépend de la donnée endoscopique.
Soient G
1 ,. . .,Δ 1 des données auxiliaires.
Lemme. Pour (δ 1 , γ) ∈ D 1 et x ∈ G (F ), on a
Δ 1 (δ 1 , x
−1 γx) = ω (x)Δ 1 (δ 1 , γ).
Preuve. Il s’agit de calculer Δ 1 (δ 1 ,x
−1 γx;δ 1 ,γ). Choisissons une décomposition
x = zπ(x sc ), avec z ∈ Z(G) et x sc ∈ G SC . Reprenons les constructions de
2.2. En particulier, pour w ∈ W F , on fixe un élément g w = (g(w), w) ∈ G
tel
que ad gw agisse par w G sur ˆ
G
. On écrit g(w) = z(w)π(g sc (w)) comme avant
l’énoncé. Si (δ, B
, T
, B, T, x
−1 γx) est le diagramme relatif à (δ, x
−1 γx), on prend
(δ, B
, T
, ad x (B), ad x (T ), γ) pour diagramme relatif à (δ, γ) et r = x sc . D’où
u E (σ) = x
−1
sc u E (σ)σ(x sc ). On en déduit
V T (σ) = x
−1
sc V T (σ)σ(x sc ) = x
−1
sc V T (σ)x sc x sc (σ)
−1 ,
où on a posé x sc (σ) = σ(x sc )
−1 x sc .
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
suite exacte
1 → T /Z(G)
θ
→ (1 − θ)(T ) × T ad → (1 − θ)(T ad ) → 1.
Dualement, en fixant une paire de Borel épinglée ˆ
E de ˆ
G et en utilisant les notations
de 1.4, un tore maximal ˆ
T de ˆ
G s’insère dans une suite exacte
(2)
1 → ˆ
T sc / ˆ
T
ˆ
θ
sc
(π,1− ˆ
θ)
→ ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0
× ˆ
T sc → ˆ
T → 1.
Dualement à l’homomorphisme T sc → T /Z(G)
θ , on dispose d’un homomorphisme
ˆ
T → ˆ
T ad . Puisque Z( ˆ
G ) est le noyau de cet homomorphisme, on déduit aisément
de la suite ci-dessus la suite exacte
1 → Z( ˆ
G SC )/Z( ˆ
G SC )
ˆ
θ (π,1− ˆ
θ)
→ Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ) × Z( ˆ
G SC ) → Z( ˆ
G ) → 1.
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). On
suppose que ˆ
E est adaptée à cette donnée, cf. 1.5. En particulier ˜
s = s ˆ
θ, avec
s ∈ ˆ
T . Pour w ∈ W F , choisissons un élément de (g(w), w) ∈ G
se projetant sur
w. Choisissons z(w) ∈ Z( ˆ
G) et g sc (w) ∈ ˆ
G SC tels que g(w) = z(w)π(g sc (w)).
Choisissons s sc ∈ ˆ
G SC qui a même image que s dans ˆ
G AD . On définit a sc (w) ∈
ˆ
G SC par
s sc ˆ
θ(g sc (w))w(s sc )
−1 = a sc (w)g sc (w).
On note z (w) l’image de (z(w), a sc (w)) dans Z( ˆ
G ) par l’application de la suite
ci-dessus. On vérifie que ce terme ne dépend pas des différents choix effectués et
que la fonction z ainsi définie est un cocycle. Celui-ci définit un caractère ω de
G (F ).
Attention : le caractère ω dépend de la donnée endoscopique.
Soient G
1 ,. . .,Δ 1 des données auxiliaires.
Lemme. Pour (δ 1 , γ) ∈ D 1 et x ∈ G (F ), on a
Δ 1 (δ 1 , x
−1 γx) = ω (x)Δ 1 (δ 1 , γ).
Preuve. Il s’agit de calculer Δ 1 (δ 1 ,x
−1 γx;δ 1 ,γ). Choisissons une décomposition
x = zπ(x sc ), avec z ∈ Z(G) et x sc ∈ G SC . Reprenons les constructions de
2.2. En particulier, pour w ∈ W F , on fixe un élément g w = (g(w), w) ∈ G
tel
que ad gw agisse par w G sur ˆ
G
. On écrit g(w) = z(w)π(g sc (w)) comme avant
l’énoncé. Si (δ, B
, T
, B, T, x
−1 γx) est le diagramme relatif à (δ, x
−1 γx), on prend
(δ, B
, T
, ad x (B), ad x (T ), γ) pour diagramme relatif à (δ, γ) et r = x sc . D’où
u E (σ) = x
−1
sc u E (σ)σ(x sc ). On en déduit
V T (σ) = x
−1
sc V T (σ)σ(x sc ) = x
−1
sc V T (σ)x sc x sc (σ)
−1 ,
où on a posé x sc (σ) = σ(x sc )
−1 x sc .