I.2. Transfert
41
Lemme. Pour un élément x ∈ Z( ˆ
G) dont l’image modulo Z( ˆ
G)∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 est conservée
par Γ F , l’action de x sur C
∞
c (G
) est la multiplication par la fonction ˜
μ x ◦ N
˜
G
, ˜
G .
Preuve. Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 dont on déduit, à l’aide de x, de
nouvelles données comme ci-dessus. Mais, au lieu de les souligner, on note ces nouvelles données G
2 ,. . .,Δ 2 . En fait, ces données sont les mêmes que les premières,
sauf ˆ
ξ 1 qui est remplacé par ˆ
ξ 2 = ˆ
ξ 1 ◦ ad x −1 . L’action de x sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) est la
composée de l’identité de cet espace sur C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F )) et de l’application de transition de ce deuxième espace sur le premier définie au paragraphe précédent. Autrement dit, c’est la multiplication par la fonction δ 1 → ˜
λ 21 (δ 1 , δ 1 ). Cette fonction
se transforme selon le caractère g 1 → λ 21 (g 1 , g 1 ) de G
1 (F ). Celui-ci est associé au
cocycle w → (ζ 2 (w), ζ 1 (w)
−1 ) de W F dans Z( ˆ
G
12 ). Avec les notations de 2.2, on a
(ζ 2 (w), w) = ˆ
ξ 2 (g(w), w) = ˆ
ξ 1 (x
−1 w(x)g(w), w), d’où ζ 2 (w) = ˆ
ξ 1 (w(x)x
−1 )ζ 1 (w).
Notre cocycle est donc le produit des deux cocycles w → (ζ 1 (w), ζ 1 (w)
−1 ) et
w → ( ˆ
ξ 1 (w(x)x
−1 ), 1). On voit comme dans la preuve de 2.5 que le premier vaut 1
sur la diagonale de G
21 (F ). Le deuxième définit le caractère composé de la projection de G
21 (F ) sur G
(F ) et du caractère de ce dernier groupe associé au cocycle
w → w(x)x
−1 . Ce dernier caractère est le composé de μ x et de l’homomorphisme
G
(F ) → G
ab (F ) → G
0,ab (F ). Cela démontre que notre fonction δ 1 → ˜
λ 21 (δ 1 , δ 1 )
se transforme selon le même caractère que la fonction ˜
μ x ◦ N
˜
G
, ˜
G (ou plus exactement que cette fonction composée avec la projection G
1 (F ) → G
(F )). Pour que
ces deux fonctions soient égales, il suffit qu’elles le soient en un point. Puisque
Δ 2 = Δ 1 et que la multiplication par la fonction de transition envoie Δ 2 sur Δ 1 ,
on a ˜
λ 21 (δ 1 , δ 1 ) = 1 pour tout δ 1 qui est composante d’un couple (δ 1 , γ) ∈ D 1 . Pour
un tel δ 1 , on a aussi ˜
μ x ◦ N
˜
G, ˜
G (δ) = 1 d’après la définition de ˜
μ x et la proposition
1.14(i). Or un tel δ 1 existe puisque G
est relevante.
Corollaire. Un élément de C
∞
c (G
) est invariant par l’action de (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩
ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF si et seulement si son support est contenu dans l’ensemble des δ ∈ ˜
G
(F )
tels que N
˜
G
, ˜
G (δ) appartienne à N
˜
G ( ˜
G ab (F )).
I.2.7 Une propriété de transformation du facteur de transfert
Posons G = G/Z(G)
θ . Le groupe G (F ) agit par conjugaison sur ˜
G(F ). Soit
(B, T ) une paire de Borel de G. On a l’égalité Z(G)
θ = Z(G) ∩ T
θ , où θ désigne
la restriction de ad γ à T pour n’importe quel γ ∈ ˜
G tel que ad γ conserve (B, T ).
D’où une suite exacte
(1)
1 → T /Z(G)
θ
→ T /T
θ
× T ad → T ad /T
θ
ad → 1.
La deuxième flèche est le produit des applications naturelles. La première est le
produit de l’application naturelle T /Z(G)
θ
→ T ad et de l’inverse de l’application
naturelle T /Z(G)
θ
→ T /T
θ . En identifiant T /T
θ à (1 − θ)(T ) par l’homomorphisme 1 − θ et en identifiant de même T ad /T
θ
ad à (1 − θ)(T ad ), on obtient une
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Lemme. Pour un élément x ∈ Z( ˆ
G) dont l’image modulo Z( ˆ
G)∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 est conservée
par Γ F , l’action de x sur C
∞
c (G
) est la multiplication par la fonction ˜
μ x ◦ N
˜
G
, ˜
G .
Preuve. Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 dont on déduit, à l’aide de x, de
nouvelles données comme ci-dessus. Mais, au lieu de les souligner, on note ces nouvelles données G
2 ,. . .,Δ 2 . En fait, ces données sont les mêmes que les premières,
sauf ˆ
ξ 1 qui est remplacé par ˆ
ξ 2 = ˆ
ξ 1 ◦ ad x −1 . L’action de x sur C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) est la
composée de l’identité de cet espace sur C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F )) et de l’application de transition de ce deuxième espace sur le premier définie au paragraphe précédent. Autrement dit, c’est la multiplication par la fonction δ 1 → ˜
λ 21 (δ 1 , δ 1 ). Cette fonction
se transforme selon le caractère g 1 → λ 21 (g 1 , g 1 ) de G
1 (F ). Celui-ci est associé au
cocycle w → (ζ 2 (w), ζ 1 (w)
−1 ) de W F dans Z( ˆ
G
12 ). Avec les notations de 2.2, on a
(ζ 2 (w), w) = ˆ
ξ 2 (g(w), w) = ˆ
ξ 1 (x
−1 w(x)g(w), w), d’où ζ 2 (w) = ˆ
ξ 1 (w(x)x
−1 )ζ 1 (w).
Notre cocycle est donc le produit des deux cocycles w → (ζ 1 (w), ζ 1 (w)
−1 ) et
w → ( ˆ
ξ 1 (w(x)x
−1 ), 1). On voit comme dans la preuve de 2.5 que le premier vaut 1
sur la diagonale de G
21 (F ). Le deuxième définit le caractère composé de la projection de G
21 (F ) sur G
(F ) et du caractère de ce dernier groupe associé au cocycle
w → w(x)x
−1 . Ce dernier caractère est le composé de μ x et de l’homomorphisme
G
(F ) → G
ab (F ) → G
0,ab (F ). Cela démontre que notre fonction δ 1 → ˜
λ 21 (δ 1 , δ 1 )
se transforme selon le même caractère que la fonction ˜
μ x ◦ N
˜
G
, ˜
G (ou plus exactement que cette fonction composée avec la projection G
1 (F ) → G
(F )). Pour que
ces deux fonctions soient égales, il suffit qu’elles le soient en un point. Puisque
Δ 2 = Δ 1 et que la multiplication par la fonction de transition envoie Δ 2 sur Δ 1 ,
on a ˜
λ 21 (δ 1 , δ 1 ) = 1 pour tout δ 1 qui est composante d’un couple (δ 1 , γ) ∈ D 1 . Pour
un tel δ 1 , on a aussi ˜
μ x ◦ N
˜
G, ˜
G (δ) = 1 d’après la définition de ˜
μ x et la proposition
1.14(i). Or un tel δ 1 existe puisque G
est relevante.
Corollaire. Un élément de C
∞
c (G
) est invariant par l’action de (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩
ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF si et seulement si son support est contenu dans l’ensemble des δ ∈ ˜
G
(F )
tels que N
˜
G
, ˜
G (δ) appartienne à N
˜
G ( ˜
G ab (F )).
I.2.7 Une propriété de transformation du facteur de transfert
Posons G = G/Z(G)
θ . Le groupe G (F ) agit par conjugaison sur ˜
G(F ). Soit
(B, T ) une paire de Borel de G. On a l’égalité Z(G)
θ = Z(G) ∩ T
θ , où θ désigne
la restriction de ad γ à T pour n’importe quel γ ∈ ˜
G tel que ad γ conserve (B, T ).
D’où une suite exacte
(1)
1 → T /Z(G)
θ
→ T /T
θ
× T ad → T ad /T
θ
ad → 1.
La deuxième flèche est le produit des applications naturelles. La première est le
produit de l’application naturelle T /Z(G)
θ
→ T ad et de l’inverse de l’application
naturelle T /Z(G)
θ
→ T /T
θ . En identifiant T /T
θ à (1 − θ)(T ) par l’homomorphisme 1 − θ et en identifiant de même T ad /T
θ
ad à (1 − θ)(T ad ), on obtient une