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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
isomorphisme associé à x, cf. 1.5. Remarquons que le diagramme
Z(G)
w w n n n n n n
' '
P
P
P
P
P
P
Z(G
)
αx
/ / Z(G
)
est commutatif, donc de α x se déduit un isomorphisme ˜
α x : ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G) →
˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G).
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 relatives à la première donnée. On
pose G
1 = G
1 , C 1 = C 1 , avec pour application G
1 → G
la composée de G
1 → G
et de α x : G
→ G
. On pose ˜
G
1 = ˜
G
1 , avec pour application ˜
G
1 → ˜
G
la composée
de ˜
G
1 → ˜
G
et de ˜
α x : ˜
G
→ ˜
G
. On pose ˆ
ξ 1 = ˆ
ξ 1 ◦ ad x −1 : G
→
L G
1 =
L G
1 . Ces
données vérifient les conditions requises relativement à la donnée G
. On vérifie
que les bifacteurs de transfert déduits de ces deux séries de données coïncident.
Donc la fonction Δ 1 = Δ 1 est encore un facteur de transfert pour ces données
auxiliaires. On a alors un isomorphisme
C
∞
c (G
) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) = C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) C
∞
c (G
).
On en déduit un isomorphisme SI(G
) SI(G
). Par construction, il est compatible au transfert, c’est-à-dire que le diagramme suivant est commutatif :
I( ˜
G(F ), ω)
transfert
u u l l l l l l l
transfert
) )
R
R
R
R
R
R
R
SI(G
)
SI(G
)
Dans le cas particulier où G
= G
, on peut identifier E
∗ à une paire de
Borel épinglée définie sur F (puisque G
est quasi-déployée) puis préciser α x en
imposant que cet automorphisme préserve cette paire de Borel épinglée. On obtient
une action du groupe Aut(G
) sur C
∞
c (G
).
Remarque. Comme nous l’a fait remarquer Chaudouard, cette action dépend du
choix de la paire de Borel épinglée, qui n’est déterminé que modulo l’action de
G
AD (F ). L’action devient canonique dans deux cas :
– quand on passe à un quotient où cette action disparaît, par exemple l’action
sur l’espace SI(G
) est canonique ;
– si on se restreint aux x pour lesquels α x = 1.
On vérifie que le sous-groupe Z( ˆ
G)
ΓF ˆ
G
de Aut(G
) agit trivialement. On a
donc une action de Aut(G
)/ ˆ
G
et en particulier de son sous-groupe (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G)∩
ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF . On a vu en 1.13 comment associer à un élément x de ce groupe un
caractère μ x de G 0,ab (F ) et une fonction ˜
μ x sur ˜
G 0,ab (F ).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
isomorphisme associé à x, cf. 1.5. Remarquons que le diagramme
Z(G)
w w n n n n n n
' '
P
P
P
P
P
P
Z(G
)
αx
/ / Z(G
)
est commutatif, donc de α x se déduit un isomorphisme ˜
α x : ˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G) →
˜
G
= G
× Z(G) Z( ˜
G).
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 relatives à la première donnée. On
pose G
1 = G
1 , C 1 = C 1 , avec pour application G
1 → G
la composée de G
1 → G
et de α x : G
→ G
. On pose ˜
G
1 = ˜
G
1 , avec pour application ˜
G
1 → ˜
G
la composée
de ˜
G
1 → ˜
G
et de ˜
α x : ˜
G
→ ˜
G
. On pose ˆ
ξ 1 = ˆ
ξ 1 ◦ ad x −1 : G
→
L G
1 =
L G
1 . Ces
données vérifient les conditions requises relativement à la donnée G
. On vérifie
que les bifacteurs de transfert déduits de ces deux séries de données coïncident.
Donc la fonction Δ 1 = Δ 1 est encore un facteur de transfert pour ces données
auxiliaires. On a alors un isomorphisme
C
∞
c (G
) C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) = C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) C
∞
c (G
).
On en déduit un isomorphisme SI(G
) SI(G
). Par construction, il est compatible au transfert, c’est-à-dire que le diagramme suivant est commutatif :
I( ˜
G(F ), ω)
transfert
u u l l l l l l l
transfert
) )
R
R
R
R
R
R
R
SI(G
)
SI(G
)
Dans le cas particulier où G
= G
, on peut identifier E
∗ à une paire de
Borel épinglée définie sur F (puisque G
est quasi-déployée) puis préciser α x en
imposant que cet automorphisme préserve cette paire de Borel épinglée. On obtient
une action du groupe Aut(G
) sur C
∞
c (G
).
Remarque. Comme nous l’a fait remarquer Chaudouard, cette action dépend du
choix de la paire de Borel épinglée, qui n’est déterminé que modulo l’action de
G
AD (F ). L’action devient canonique dans deux cas :
– quand on passe à un quotient où cette action disparaît, par exemple l’action
sur l’espace SI(G
) est canonique ;
– si on se restreint aux x pour lesquels α x = 1.
On vérifie que le sous-groupe Z( ˆ
G)
ΓF ˆ
G
de Aut(G
) agit trivialement. On a
donc une action de Aut(G
)/ ˆ
G
et en particulier de son sous-groupe (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G)∩
ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF . On a vu en 1.13 comment associer à un élément x de ce groupe un
caractère μ x de G 0,ab (F ) et une fonction ˜
μ x sur ˜
G 0,ab (F ).