I.2. Transfert
39
On a envie de définir C
∞
c (G
) et SI(G
) comme les limites inductives des
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), resp. SI λ1 ( ˜
G
1 (F )), la limite étant prise sur toutes les données G
1 ,
. . .,Δ 1 , les applications de transition étant celles que l’on vient de définir. Alors le
transfert devient une application linéaire
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → SI(G
) ⊗ Mes(G
(F )),
qui ne dépend plus d’aucune donnée auxiliaire. La construction pose un problème
de logique car nos données auxiliaires ne forment pas un ensemble : l’ensemble des
groupes n’existe pas. Il y a plusieurs moyens de résoudre cette difficulté. L’un, que
l’on se contentera d’esquisser, consiste à fixer un ensemble de couples (G, ˜
G) vérifiant les hypothèses de 1.5, stable par quelques opérations élémentaires (le produit
de deux couples de l’ensemble appartient à l’ensemble, un sous-objet d’un élément
de l’ensemble appartient à l’ensemble. . .) et tel que, pour tout couple vérifiant les
hypothèses de 1.5, il existe un couple isomorphe appartenant à l’ensemble. Un tel
ensemble existe puisque pour tout entier n, il n’y a qu’un nombre fini de classes
d’isomorphisme de couples tels que dim(G) = n. On se limite ensuite à ne considérer que des couples appartenant à l’ensemble fixé. Un autre moyen plus simple pour
résoudre le problème est de dire qu’une fois fixé le groupe G et l’espace tordu ˜
G, les
données G
que l’on rencontrera au cours de notre travail seront sinon en nombre
fini, du moins déduites des données initiales par un nombre fini d’opérations. Elles
restent dans un ensemble. On peut donc pour chacune d’elles fixer arbitrairement
des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 et définir C
∞
c (G
) et SI(G
) comme étant les
espaces C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), resp. SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) pour ces données particulières. L’important est que, quand interviendront d’autres données auxiliaires, on identifiera les
espaces associés à ces données à C
∞
c (G
) et SI(G
) par les isomorphismes définis
ci-dessus.
Remarquons que les notions suivantes ont un sens :
– le support dans ˜
G
(F ) d’un élément de C
∞
c (G
) : on réalise cet élément dans
un espace C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 ) ; la projection dans ˜
G
(F ) de son support ne dépend pas
des données auxiliaires ;
– la multiplication d’un élément de C
∞
c (G
) par une fonction lisse sur ˜
G
(F )
(par le même argument).
Cas particulier. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, cf. 1.7.
On dispose de la donnée endoscopique maximale G = (G,
L G, ˜
s = 1). Pour cette
donnée, on peut choisir pour données auxiliaires G
1 = G, ˜
G
1 = ˜
G et Δ 1 valant 1
sur les couples qui se correspondent. Les espaces C
∞
c (G) et SI(G) sont simplement
C
∞
c ( ˜
G(F )) et SI( ˜
G(F )).
I.2.6 Action de groupes d’automorphismes
Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante, G
= (G
, G
, ˜
s) une
donnée équivalente et x ∈ ˆ
G définissant l’équivalence. Soit α x : G
→ G
un
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On a envie de définir C
∞
c (G
) et SI(G
) comme les limites inductives des
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), resp. SI λ1 ( ˜
G
1 (F )), la limite étant prise sur toutes les données G
1 ,
. . .,Δ 1 , les applications de transition étant celles que l’on vient de définir. Alors le
transfert devient une application linéaire
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → SI(G
) ⊗ Mes(G
(F )),
qui ne dépend plus d’aucune donnée auxiliaire. La construction pose un problème
de logique car nos données auxiliaires ne forment pas un ensemble : l’ensemble des
groupes n’existe pas. Il y a plusieurs moyens de résoudre cette difficulté. L’un, que
l’on se contentera d’esquisser, consiste à fixer un ensemble de couples (G, ˜
G) vérifiant les hypothèses de 1.5, stable par quelques opérations élémentaires (le produit
de deux couples de l’ensemble appartient à l’ensemble, un sous-objet d’un élément
de l’ensemble appartient à l’ensemble. . .) et tel que, pour tout couple vérifiant les
hypothèses de 1.5, il existe un couple isomorphe appartenant à l’ensemble. Un tel
ensemble existe puisque pour tout entier n, il n’y a qu’un nombre fini de classes
d’isomorphisme de couples tels que dim(G) = n. On se limite ensuite à ne considérer que des couples appartenant à l’ensemble fixé. Un autre moyen plus simple pour
résoudre le problème est de dire qu’une fois fixé le groupe G et l’espace tordu ˜
G, les
données G
que l’on rencontrera au cours de notre travail seront sinon en nombre
fini, du moins déduites des données initiales par un nombre fini d’opérations. Elles
restent dans un ensemble. On peut donc pour chacune d’elles fixer arbitrairement
des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 et définir C
∞
c (G
) et SI(G
) comme étant les
espaces C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), resp. SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) pour ces données particulières. L’important est que, quand interviendront d’autres données auxiliaires, on identifiera les
espaces associés à ces données à C
∞
c (G
) et SI(G
) par les isomorphismes définis
ci-dessus.
Remarquons que les notions suivantes ont un sens :
– le support dans ˜
G
(F ) d’un élément de C
∞
c (G
) : on réalise cet élément dans
un espace C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 ) ; la projection dans ˜
G
(F ) de son support ne dépend pas
des données auxiliaires ;
– la multiplication d’un élément de C
∞
c (G
) par une fonction lisse sur ˜
G
(F )
(par le même argument).
Cas particulier. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, cf. 1.7.
On dispose de la donnée endoscopique maximale G = (G,
L G, ˜
s = 1). Pour cette
donnée, on peut choisir pour données auxiliaires G
1 = G, ˜
G
1 = ˜
G et Δ 1 valant 1
sur les couples qui se correspondent. Les espaces C
∞
c (G) et SI(G) sont simplement
C
∞
c ( ˜
G(F )) et SI( ˜
G(F )).
I.2.6 Action de groupes d’automorphismes
Soient G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante, G
= (G
, G
, ˜
s) une
donnée équivalente et x ∈ ˆ
G définissant l’équivalence. Soit α x : G
→ G
un