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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
où ω 12 est le caractère de G
12 (F ) défini par ι(ζ 12 ). Remarquons que
q(ν 12 ) = ((δ 1 , δ 2 ), (δ
−1
1 , δ
−1
2 )),
en identifiant ce quadruplet à son image naturelle dans G
12 (F ). On peut décomposer
q(ν 12 ) = ((x 1 , x 2 ), (1, 1)) diag − (δ 1 , δ 2 ).
On a un homomorphisme
G
12 × G
12 → G
12 .
Par composition avec cet homomorphisme, ω 12 définit un caractère de G
12 (F ) ×
G
12 (F ). D’après les propriétés usuelles de compatibilité, ce dernier caractère est
égal à λ 12 × λ 12 . D’où ω 12 ((x 1 , x 2 ), (1, 1)) = λ 12 (x 1 , x 2 ). Pour achever la preuve
du lemme, il reste à prouver que ω 12 (diag − (δ 1 , δ 2 )) = 1.
On peut dire que ω 12 (diag − (δ 1 , δ 2 )) est la valeur de notre quotient X quand
les triplets (δ 1 , δ 2 , γ) et (δ 1 , δ 2 , γ) sont égaux et qu’alors ce quotient vaut 1 car,
d’après [48] lemme 5.1.A, les deux termes Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) et Δ 2 (δ 2 , γ; δ 2 , γ) valent
1. On peut dire aussi que diag − (δ 1 , δ 2 ) appartient à l’image de l’homomorphisme
naturel
T
12 /Z(G
12 )
diag −
→ (T
12 × T
12 )/ diag − (Z(G
12 ))
Or, d’après sa construction, ι(ζ 12 ) est annulé par l’homomorphisme dual.
Grâce à ce lemme, il existe une unique fonction ˜
λ 12 sur ˜
G
12 (F ) telle que
(i) pour (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (F ) et (x 1 , x 2 ) ∈ G
12 (F ),
˜
λ 12 (x 1 δ 1 , x 2 δ 2 ) = λ 12 (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
(on abrégera cette propriété en disant que ˜
λ 12 se transforme selon le caractère
λ 12 ) ;
(ii) pour (δ 1 , γ) ∈ D 1 et δ 2 ∈ ˜
G
2 (F ) tel que (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (F ),
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ).
On définit une application linéaire
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) → C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F ))
f 1
→
f 2
par f 2 (δ 2 ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )f 1 (δ 1 ), où δ 1 est n’importe quel élément tel que (δ 1 , δ 2 ) ∈
˜
G
12 (F ). C’est un isomorphisme qui se descend en un isomorphisme de SI λ1 ( ˜
G
1 (F ))
sur SI λ2 ( ˜
G
2 (F )). Le diagramme
I( ˜
G(F ), ω)
r r ff f ff
, ,
X
X
X
X
X
SI λ1 ( ˜
G
1 (F ))
SI λ2 ( ˜
G
2 (F ))
est commutatif, où les deux flèches descendantes sont les transferts.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
où ω 12 est le caractère de G
12 (F ) défini par ι(ζ 12 ). Remarquons que
q(ν 12 ) = ((δ 1 , δ 2 ), (δ
−1
1 , δ
−1
2 )),
en identifiant ce quadruplet à son image naturelle dans G
12 (F ). On peut décomposer
q(ν 12 ) = ((x 1 , x 2 ), (1, 1)) diag − (δ 1 , δ 2 ).
On a un homomorphisme
G
12 × G
12 → G
12 .
Par composition avec cet homomorphisme, ω 12 définit un caractère de G
12 (F ) ×
G
12 (F ). D’après les propriétés usuelles de compatibilité, ce dernier caractère est
égal à λ 12 × λ 12 . D’où ω 12 ((x 1 , x 2 ), (1, 1)) = λ 12 (x 1 , x 2 ). Pour achever la preuve
du lemme, il reste à prouver que ω 12 (diag − (δ 1 , δ 2 )) = 1.
On peut dire que ω 12 (diag − (δ 1 , δ 2 )) est la valeur de notre quotient X quand
les triplets (δ 1 , δ 2 , γ) et (δ 1 , δ 2 , γ) sont égaux et qu’alors ce quotient vaut 1 car,
d’après [48] lemme 5.1.A, les deux termes Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) et Δ 2 (δ 2 , γ; δ 2 , γ) valent
1. On peut dire aussi que diag − (δ 1 , δ 2 ) appartient à l’image de l’homomorphisme
naturel
T
12 /Z(G
12 )
diag −
→ (T
12 × T
12 )/ diag − (Z(G
12 ))
Or, d’après sa construction, ι(ζ 12 ) est annulé par l’homomorphisme dual.
Grâce à ce lemme, il existe une unique fonction ˜
λ 12 sur ˜
G
12 (F ) telle que
(i) pour (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (F ) et (x 1 , x 2 ) ∈ G
12 (F ),
˜
λ 12 (x 1 δ 1 , x 2 δ 2 ) = λ 12 (x 1 , x 2 ) ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
(on abrégera cette propriété en disant que ˜
λ 12 se transforme selon le caractère
λ 12 ) ;
(ii) pour (δ 1 , γ) ∈ D 1 et δ 2 ∈ ˜
G
2 (F ) tel que (δ 1 , δ 2 ) ∈ ˜
G
12 (F ),
Δ 2 (δ 2 , γ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )Δ 1 (δ 1 , γ).
On définit une application linéaire
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) → C
∞
c,λ2 ( ˜
G
2 (F ))
f 1
→
f 2
par f 2 (δ 2 ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )f 1 (δ 1 ), où δ 1 est n’importe quel élément tel que (δ 1 , δ 2 ) ∈
˜
G
12 (F ). C’est un isomorphisme qui se descend en un isomorphisme de SI λ1 ( ˜
G
1 (F ))
sur SI λ2 ( ˜
G
2 (F )). Le diagramme
I( ˜
G(F ), ω)
r r ff f ff
, ,
X
X
X
X
X
SI λ1 ( ˜
G
1 (F ))
SI λ2 ( ˜
G
2 (F ))
est commutatif, où les deux flèches descendantes sont les transferts.