I.2. Transfert
37
Le tore ˆ
T 12 dual de T 12 est le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T
2 × ˆ
T par le sous-groupe
{( ˆ
ξ 1 (t
1 ), ˆ
ξ 2 (t
2 ), t
); t
1 , t
2 , t
∈ ˆ
T
, t
1 t
2 t
= 1}.
Pour w ∈ W F , notons encore ζ 12 (w) l’image de (ζ 1 (w), ζ 2 (w)
−1 , 1) dans ce tore.
Alors ζ 12 est un cocycle. Le tore dual ˆ
S 12 de S 12 est le groupe des (t, t, t sc ) ∈
ˆ
T 1 × ˆ
T 2 × ˆ
T sc tels que tt
−1 = j(t sc ), en généralisant la notation j de 2.2. Notons ˆ
V 12
le cocycle w → (ζ 12 (w), ζ 12 (w), 1) de W F dans ˆ
S 12 . On calcule ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 , s)ˆ p 2 ( ˆ
V 2 , s)
−1 :
c’est la classe de l’élément ( ˆ
V 12 , 1) ∈ Z
1,0 (W F ; ˆ
S 12
1−θ
→ ˆ
U ). D’où
X =
(V, ν 12 ), ( ˆ
V 12 , 1)
.
Introduisons le produit fibré T
12 de T
1 et T
2 au-dessus de T
, qui n’est
autre que le commutant de (δ 1 , δ 2 ) dans G
12 . Introduisons le tore Σ 12 = (T
12 ×
T
12 )/ diag − (Z(G
12 )). Il y a un homomorphisme naturel q : S 12 → Σ 12 . Dualement,
on a ˆ
T
12 = ( ˆ
T
1 × ˆ
T
2 )/ diag − ( ˆ
T
) et
ˆ
Σ 12 = {(t, t, t
sc ) ∈ ˆ
T
12 × ˆ
T
12 × ˆ
T
sc ; j(t
sc ) = tt
−1
},
où on note encore j l’homomorphisme naturel et où ˆ
T
sc est l’image réciproque de
ˆ
T
dans ˆ
G
SC . On a une suite d’homomorphismes
Z( ˆ
G
12 )
diag
→ ˆ
Σ 12
ˆ
q
→ ˆ
S 12 .
L’homomorphisme ˆ
q prend ses valeurs dans le noyau de 1 − ˆ
θ. Il y a donc un
homomorphisme naturel
H
1 (W F , ˆ
Σ 12 ) → H
1,0 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
L’élément ˆ
V 12 est l’image par cet homomorphisme de diag(ζ 12 ). En vertu de la
relation de compatibilité [48] (A.3.13) (où le signe négatif disparaît d’après la
correction [49] 4.3), on obtient
X = q(ν 12 ), diag(ζ 12 ) ,
où le produit est celui sur H
0 (Γ F ; Σ 12 ) × H
1 (W F ; ˆ
Σ 12 ). Le tore Σ 12 est un soustore maximal du groupe G
12 = (G
12 × G
12 )/ diag − (Z(G
12 )). L’homomorphisme
diag : Z( ˆ
G
12 ) → ˆ
Σ 12 se factorise en
Z( ˆ
G
12 )
ι
→ Z( ˆ
G
12 ) → ˆ
Σ 12 .
On se rappelle que tout élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G
12 )) définit un caractère de
G
12 (F ). Donc
X = ω 12 (q(ν 12 )),
37
Le tore ˆ
T 12 dual de T 12 est le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T
2 × ˆ
T par le sous-groupe
{( ˆ
ξ 1 (t
1 ), ˆ
ξ 2 (t
2 ), t
); t
1 , t
2 , t
∈ ˆ
T
, t
1 t
2 t
= 1}.
Pour w ∈ W F , notons encore ζ 12 (w) l’image de (ζ 1 (w), ζ 2 (w)
−1 , 1) dans ce tore.
Alors ζ 12 est un cocycle. Le tore dual ˆ
S 12 de S 12 est le groupe des (t, t, t sc ) ∈
ˆ
T 1 × ˆ
T 2 × ˆ
T sc tels que tt
−1 = j(t sc ), en généralisant la notation j de 2.2. Notons ˆ
V 12
le cocycle w → (ζ 12 (w), ζ 12 (w), 1) de W F dans ˆ
S 12 . On calcule ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 , s)ˆ p 2 ( ˆ
V 2 , s)
−1 :
c’est la classe de l’élément ( ˆ
V 12 , 1) ∈ Z
1,0 (W F ; ˆ
S 12
1−θ
→ ˆ
U ). D’où
X =
(V, ν 12 ), ( ˆ
V 12 , 1)
.
Introduisons le produit fibré T
12 de T
1 et T
2 au-dessus de T
, qui n’est
autre que le commutant de (δ 1 , δ 2 ) dans G
12 . Introduisons le tore Σ 12 = (T
12 ×
T
12 )/ diag − (Z(G
12 )). Il y a un homomorphisme naturel q : S 12 → Σ 12 . Dualement,
on a ˆ
T
12 = ( ˆ
T
1 × ˆ
T
2 )/ diag − ( ˆ
T
) et
ˆ
Σ 12 = {(t, t, t
sc ) ∈ ˆ
T
12 × ˆ
T
12 × ˆ
T
sc ; j(t
sc ) = tt
−1
},
où on note encore j l’homomorphisme naturel et où ˆ
T
sc est l’image réciproque de
ˆ
T
dans ˆ
G
SC . On a une suite d’homomorphismes
Z( ˆ
G
12 )
diag
→ ˆ
Σ 12
ˆ
q
→ ˆ
S 12 .
L’homomorphisme ˆ
q prend ses valeurs dans le noyau de 1 − ˆ
θ. Il y a donc un
homomorphisme naturel
H
1 (W F , ˆ
Σ 12 ) → H
1,0 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
L’élément ˆ
V 12 est l’image par cet homomorphisme de diag(ζ 12 ). En vertu de la
relation de compatibilité [48] (A.3.13) (où le signe négatif disparaît d’après la
correction [49] 4.3), on obtient
X = q(ν 12 ), diag(ζ 12 ) ,
où le produit est celui sur H
0 (Γ F ; Σ 12 ) × H
1 (W F ; ˆ
Σ 12 ). Le tore Σ 12 est un soustore maximal du groupe G
12 = (G
12 × G
12 )/ diag − (Z(G
12 )). L’homomorphisme
diag : Z( ˆ
G
12 ) → ˆ
Σ 12 se factorise en
Z( ˆ
G
12 )
ι
→ Z( ˆ
G
12 ) → ˆ
Σ 12 .
On se rappelle que tout élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G
12 )) définit un caractère de
G
12 (F ). Donc
X = ω 12 (q(ν 12 )),