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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Lemme. Sous ces hypothèses, on a l’égalité
Δ 2 (δ 2 , γ; δ 2 , γ) = λ 12 (x 1 , x 2 )Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ),
où (x 1 , x 2 ) ∈ G 12 (F ) est l’élément tel que (δ 1 , δ 2 ) = (x 1 , x 2 )(δ 1 , δ 2 ).
Preuve. On calcule les bifacteurs de transfert en utilisant la définition de 2.2,
en affectant d’un indice 2 les termes relatifs à la deuxième famille de données
auxiliaires. Quand on remplace une famille par l’autre, les termes Δ II ne changent
pas et les termes V et s non plus. De même que l’on a défini les tores T 1 et T 2 ,
on introduit le tore T 12 qui est le produit fibré de T
1 , T
2 et T au-dessus de T
.
On note ν 12 l’élément (μ 1 , μ 2 , ν) de ce tore. On introduit le groupe Z 12 formé des
(z 1 , z 2 , z) ∈ Z(G
1 ) × Z(G
2 ) × Z(G) qui ont même image dans Z(G
) puis le tore
S 12 = (T 12 × T 12 )/ diag − (Z 12 ). Notons ν 12 l’image de (ν 12 , ν
−1
12 ) dans S 12 . L’oubli
d’une variable définit des homomorphismes
S 12
t t j j j j j j
* *
T
T
T
T
T
T
S 1
S 2
qui envoient ν 12 respectivement sur ν 1 et ν 2 . D’où des homomorphismes
H
1,0 (Γ F , U
1−θ
→ S 12 )
p1
r r ee ee ee
p2 , ,
Y
Y
Y
Y
Y
Y
H
1,0 (Γ F , U
1−θ
→ S 1 )
H
1,0 (Γ F , U
1−θ
→ S 2 )
qui envoient (V, ν 12 ) respectivement sur (V, ν 1 ) et (V, ν 2 ). Il y a des homomorphismes duaux
H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
H
1,0 (W F ; ˆ
S 2
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
H
1,0 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
ˆ
p1
l l YY YY YY
ˆ
p2
2 2
e
e
e
e
e
e
D’après les propriétés de compatibilité des produits de groupes de cohomologie,
on a les égalités
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
=
(V, ν 12 ), ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 , s)
,
(V, ν 2 ), ( ˆ
V 2 , s)
=
(V, ν 12 ), ˆ
p 2 ( ˆ
V 2 , s)
.
En posant
X = Δ 2 (δ 2 , γ; δ 2 , γ)Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
−1 ,
on obtient
X =
(V, ν 12 ), ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 , s)ˆ p 2 ( ˆ
V 2 , s)
−1
.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Lemme. Sous ces hypothèses, on a l’égalité
Δ 2 (δ 2 , γ; δ 2 , γ) = λ 12 (x 1 , x 2 )Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ),
où (x 1 , x 2 ) ∈ G 12 (F ) est l’élément tel que (δ 1 , δ 2 ) = (x 1 , x 2 )(δ 1 , δ 2 ).
Preuve. On calcule les bifacteurs de transfert en utilisant la définition de 2.2,
en affectant d’un indice 2 les termes relatifs à la deuxième famille de données
auxiliaires. Quand on remplace une famille par l’autre, les termes Δ II ne changent
pas et les termes V et s non plus. De même que l’on a défini les tores T 1 et T 2 ,
on introduit le tore T 12 qui est le produit fibré de T
1 , T
2 et T au-dessus de T
.
On note ν 12 l’élément (μ 1 , μ 2 , ν) de ce tore. On introduit le groupe Z 12 formé des
(z 1 , z 2 , z) ∈ Z(G
1 ) × Z(G
2 ) × Z(G) qui ont même image dans Z(G
) puis le tore
S 12 = (T 12 × T 12 )/ diag − (Z 12 ). Notons ν 12 l’image de (ν 12 , ν
−1
12 ) dans S 12 . L’oubli
d’une variable définit des homomorphismes
S 12
t t j j j j j j
* *
T
T
T
T
T
T
S 1
S 2
qui envoient ν 12 respectivement sur ν 1 et ν 2 . D’où des homomorphismes
H
1,0 (Γ F , U
1−θ
→ S 12 )
p1
r r ee ee ee
p2 , ,
Y
Y
Y
Y
Y
Y
H
1,0 (Γ F , U
1−θ
→ S 1 )
H
1,0 (Γ F , U
1−θ
→ S 2 )
qui envoient (V, ν 12 ) respectivement sur (V, ν 1 ) et (V, ν 2 ). Il y a des homomorphismes duaux
H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
H
1,0 (W F ; ˆ
S 2
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
H
1,0 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
ˆ
p1
l l YY YY YY
ˆ
p2
2 2
e
e
e
e
e
e
D’après les propriétés de compatibilité des produits de groupes de cohomologie,
on a les égalités
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
=
(V, ν 12 ), ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 , s)
,
(V, ν 2 ), ( ˆ
V 2 , s)
=
(V, ν 12 ), ˆ
p 2 ( ˆ
V 2 , s)
.
En posant
X = Δ 2 (δ 2 , γ; δ 2 , γ)Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ)
−1 ,
on obtient
X =
(V, ν 12 ), ˆ
p 1 ( ˆ
V 1 , s)ˆ p 2 ( ˆ
V 2 , s)
−1
.