I.2. Transfert
35
naturel G γ (F ) → G
δ (F ), qui est un revêtement sur son image. En choisissant
un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ) comme en 1.10, c’est la restriction de ξ T,T à
G γ (F ) = T
θ,0 (F ). On fixe les mesures de Haar sur ces deux groupes, de sorte
qu’elles se correspondent localement par cet isomorphisme. On pose
d(θ
∗ ) = | det(1 − θ
∗ ) |t ∗ /(t ∗ ) θ ∗ | F .
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on pose
I
˜
G (δ 1 , f) = d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1 (δ 1 , γ)[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 I
˜
G (γ, ω, f ),
où γ parcourt les éléments de ˜
G(F ) tels que (δ 1 , γ) ∈ D 1 , modulo conjugaison par G(F ). On montre ([48] lemme 4.4.C) que pour tous ces γ, ω est trivial
sur Z G (γ; F ), les termes I
˜
G (γ, ω, f ) sont donc de véritables intégrales orbitales.
Pour f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), on dit que f 1 est un transfert de f si et seulement si
S
˜
G
(δ 1 , f 1 ) = I
˜
G (δ 1 , f) pour tout δ 1 fortement ˜
G-régulier. On peut d’ailleurs aussi
bien demander que cette égalité ne soit vérifiée que pour un sous-ensemble topologiquement dense. La conjecture de transfert est maintenant prouvée :
Théorème. Tout élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) admet un transfert dans C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )).
Par passage aux quotients, le transfert apparaît comme une application linéaire I( ˜
G(F ), ω) → SI λ1 ( ˜
G
1 (F )). Il dépend des choix des données auxiliaires, du
facteur de transfert et des mesures de Haar. On peut s’affranchir de ce dernier
choix en notant Mes(G(F )) la droite complexe portée par une mesure de Haar sur
G(F ). On peut voir le transfert comme une application linéaire
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )).
I.2.5 Recollement de données auxiliaires
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). Considérons des données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 comme en 2.1, plus un facteur de transfert
Δ 1 . On considère une autre série de données G
2 , ˜
G
2 , C 2 , ˆ
ξ 2 , Δ 2 . On introduit
le produit fibré G
12 de G
1 et G
2 au-dessus de G
. On a Z( ˆ
G
12 ) = (Z( ˆ
G
1 ) ×
Z( ˆ
G
2 ))/ diag − (Z( ˆ
G
)). Pour w ∈ W F , soit g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse
par w G sur ˆ
G
(on a modifié l’isomorphisme
L G ˆ
G W F comme en 1.5 ; pour
i = 1, 2, on modifie de même les isomorphismes
L G
i ˆ
G
i W F comme en 2.2).
Pour i = 1, 2, on a ˆ
ξ i (g w ) = (ζ i (w), w), avec ζ i (w) ∈ Z( ˆ
G
i ). Soit ζ 12 (w) l’image
de (ζ 1 (w), ζ 2 (w)
−1 ) dans Z( ˆ
G
12 ). Ce terme est bien défini et ζ 12 est un cocycle
de W F dans Z( ˆ
G
12 ), qui détermine un caractère λ 12 de G
12 (F ). La restriction de
ce caractère à C 1 (F ) × C 2 (F ) est λ 1 × λ
−1
2 . Introduisons le produit fibré ˜
G
12 de
˜
G
1 et ˜
G
2 au-dessus de ˜
G
. Soient (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) deux éléments de D 1 . Soient
δ 2 , δ 2 ∈ ˜
G
2 (F ) tels que (δ 1 , δ 2 ) et (δ 1 , δ 2 ) appartiennent à ˜
G
12 (F ). Alors (δ 2 , γ) et
(δ 2 , γ) appartiennent à D 2 .
35
naturel G γ (F ) → G
δ (F ), qui est un revêtement sur son image. En choisissant
un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ) comme en 1.10, c’est la restriction de ξ T,T à
G γ (F ) = T
θ,0 (F ). On fixe les mesures de Haar sur ces deux groupes, de sorte
qu’elles se correspondent localement par cet isomorphisme. On pose
d(θ
∗ ) = | det(1 − θ
∗ ) |t ∗ /(t ∗ ) θ ∗ | F .
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on pose
I
˜
G (δ 1 , f) = d(θ
∗ )
1/2
γ
Δ 1 (δ 1 , γ)[Z G (γ; F ) : G γ (F )]
−1 I
˜
G (γ, ω, f ),
où γ parcourt les éléments de ˜
G(F ) tels que (δ 1 , γ) ∈ D 1 , modulo conjugaison par G(F ). On montre ([48] lemme 4.4.C) que pour tous ces γ, ω est trivial
sur Z G (γ; F ), les termes I
˜
G (γ, ω, f ) sont donc de véritables intégrales orbitales.
Pour f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), on dit que f 1 est un transfert de f si et seulement si
S
˜
G
(δ 1 , f 1 ) = I
˜
G (δ 1 , f) pour tout δ 1 fortement ˜
G-régulier. On peut d’ailleurs aussi
bien demander que cette égalité ne soit vérifiée que pour un sous-ensemble topologiquement dense. La conjecture de transfert est maintenant prouvée :
Théorème. Tout élément de C
∞
c ( ˜
G(F )) admet un transfert dans C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )).
Par passage aux quotients, le transfert apparaît comme une application linéaire I( ˜
G(F ), ω) → SI λ1 ( ˜
G
1 (F )). Il dépend des choix des données auxiliaires, du
facteur de transfert et des mesures de Haar. On peut s’affranchir de ce dernier
choix en notant Mes(G(F )) la droite complexe portée par une mesure de Haar sur
G(F ). On peut voir le transfert comme une application linéaire
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )).
I.2.5 Recollement de données auxiliaires
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). Considérons des données G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 comme en 2.1, plus un facteur de transfert
Δ 1 . On considère une autre série de données G
2 , ˜
G
2 , C 2 , ˆ
ξ 2 , Δ 2 . On introduit
le produit fibré G
12 de G
1 et G
2 au-dessus de G
. On a Z( ˆ
G
12 ) = (Z( ˆ
G
1 ) ×
Z( ˆ
G
2 ))/ diag − (Z( ˆ
G
)). Pour w ∈ W F , soit g w = (g(w), w) ∈ G
tel que ad gw agisse
par w G sur ˆ
G
(on a modifié l’isomorphisme
L G ˆ
G W F comme en 1.5 ; pour
i = 1, 2, on modifie de même les isomorphismes
L G
i ˆ
G
i W F comme en 2.2).
Pour i = 1, 2, on a ˆ
ξ i (g w ) = (ζ i (w), w), avec ζ i (w) ∈ Z( ˆ
G
i ). Soit ζ 12 (w) l’image
de (ζ 1 (w), ζ 2 (w)
−1 ) dans Z( ˆ
G
12 ). Ce terme est bien défini et ζ 12 est un cocycle
de W F dans Z( ˆ
G
12 ), qui détermine un caractère λ 12 de G
12 (F ). La restriction de
ce caractère à C 1 (F ) × C 2 (F ) est λ 1 × λ
−1
2 . Introduisons le produit fibré ˜
G
12 de
˜
G
1 et ˜
G
2 au-dessus de ˜
G
. Soient (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) deux éléments de D 1 . Soient
δ 2 , δ 2 ∈ ˜
G
2 (F ) tels que (δ 1 , δ 2 ) et (δ 1 , δ 2 ) appartiennent à ˜
G
12 (F ). Alors (δ 2 , γ) et
(δ 2 , γ) appartiennent à D 2 .