34
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.2.4 Transfert
Les données sont les mêmes qu’en 2.1. On fixe une mesure de Haar sur G(F ). Soit
γ ∈ ˜
G(F ). On pose
D
˜
G (γ) = | det(1 − ad γss ) |g/gγ ss | F ,
où γ ss est la partie semi-simple de γ et |.| F la valeur absolue usuelle de F . On fixe
une mesure de Haar sur G γ (F ). Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). Dans le cas où ω est trivial
sur G γ (F ), on pose
I
˜
G (γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Gγ (F )\G(F )
ω(g)f (g
−1 γg)dg.
Dans le cas où ω n’est pas trivial sur G γ (F ), on pose I
˜
G (γ, ω, f ) = 0.
Remarque. Il n’est pas clair que la normalisation que l’on a choisie soit la plus
simple. On aurait pu intégrer sur Z G (γ; F )\G(F ) au lieu de G γ (F )\G(F ). Auquel
cas, la condition sur ω serait d’être trivial sur Z G (γ; F ). Notons que cela ne crée
pas d’ambiguïté : si ω est trivial sur G γ (F ) mais pas sur Z G (γ; F ), l’intégrale sur
G γ (F )\G(F ) est nulle.
On note I( ˜
G(F ), ω) le quotient de C
∞
c ( ˜
G(F )) par le sous-espace annulé par
toutes les I
˜
G (γ, ω, .), γ très régulier.
Remarque. Dans le cas où ω est trivial, on supprime ω de la notation : I
˜
G (γ, f )
et I( ˜
G(F )) au lieu de I
˜
G (γ, ω, f ) et I( ˜
G(F ), ω). D’autres simplifications similaires
seront utilisées dans la suite.
On note C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) l’espace des fonctions f 1 : ˜
G
1 (F ) → C telles que
f 1 (c 1 δ 1 ) = λ 1 (c 1 )
−1 f 1 (δ 1 ) pour c 1 ∈ C 1 (F ) et f 1 est lisse et à support compact
modulo C 1 (F ). On fixe une mesure de Haar sur G
(F ). Pour δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ), on fixe
une mesure de Haar sur G
δ (F ) et, pour f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), on pose :
I
˜
G
(δ 1 , f 1 ) = D
˜
G
(δ)
1/2
G
δ (F )\G (F )
f 1 (x
−1 δ 1 x)dx.
Si δ 1 est semi-simple fortement régulier, on pose
S
˜
G
(δ 1 , f 1 ) =
δ
1
I
˜
G
(δ
1 , f 1 ),
où δ
1 parcourt la classe de conjugaison stable de δ 1 modulo conjugaison par G
(F ).
On note SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) le quotient de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) par le sous-espace annulé par
toutes les S
˜
G
(δ 1 , .) pour δ 1 fortement régulier.
On fixe un facteur de transfert Δ 1 . Soit δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ), semi-simple et fortement ˜
G-régulier. Pour γ ∈ ˜
G(F ) tel que (δ 1 , γ) ∈ D 1 , il y a un homomorphisme
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.2.4 Transfert
Les données sont les mêmes qu’en 2.1. On fixe une mesure de Haar sur G(F ). Soit
γ ∈ ˜
G(F ). On pose
D
˜
G (γ) = | det(1 − ad γss ) |g/gγ ss | F ,
où γ ss est la partie semi-simple de γ et |.| F la valeur absolue usuelle de F . On fixe
une mesure de Haar sur G γ (F ). Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). Dans le cas où ω est trivial
sur G γ (F ), on pose
I
˜
G (γ, ω, f ) = D
˜
G (γ)
1/2
Gγ (F )\G(F )
ω(g)f (g
−1 γg)dg.
Dans le cas où ω n’est pas trivial sur G γ (F ), on pose I
˜
G (γ, ω, f ) = 0.
Remarque. Il n’est pas clair que la normalisation que l’on a choisie soit la plus
simple. On aurait pu intégrer sur Z G (γ; F )\G(F ) au lieu de G γ (F )\G(F ). Auquel
cas, la condition sur ω serait d’être trivial sur Z G (γ; F ). Notons que cela ne crée
pas d’ambiguïté : si ω est trivial sur G γ (F ) mais pas sur Z G (γ; F ), l’intégrale sur
G γ (F )\G(F ) est nulle.
On note I( ˜
G(F ), ω) le quotient de C
∞
c ( ˜
G(F )) par le sous-espace annulé par
toutes les I
˜
G (γ, ω, .), γ très régulier.
Remarque. Dans le cas où ω est trivial, on supprime ω de la notation : I
˜
G (γ, f )
et I( ˜
G(F )) au lieu de I
˜
G (γ, ω, f ) et I( ˜
G(F ), ω). D’autres simplifications similaires
seront utilisées dans la suite.
On note C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) l’espace des fonctions f 1 : ˜
G
1 (F ) → C telles que
f 1 (c 1 δ 1 ) = λ 1 (c 1 )
−1 f 1 (δ 1 ) pour c 1 ∈ C 1 (F ) et f 1 est lisse et à support compact
modulo C 1 (F ). On fixe une mesure de Haar sur G
(F ). Pour δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ), on fixe
une mesure de Haar sur G
δ (F ) et, pour f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )), on pose :
I
˜
G
(δ 1 , f 1 ) = D
˜
G
(δ)
1/2
G
δ (F )\G (F )
f 1 (x
−1 δ 1 x)dx.
Si δ 1 est semi-simple fortement régulier, on pose
S
˜
G
(δ 1 , f 1 ) =
δ
1
I
˜
G
(δ
1 , f 1 ),
où δ
1 parcourt la classe de conjugaison stable de δ 1 modulo conjugaison par G
(F ).
On note SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) le quotient de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (F )) par le sous-espace annulé par
toutes les S
˜
G
(δ 1 , .) pour δ 1 fortement régulier.
On fixe un facteur de transfert Δ 1 . Soit δ 1 ∈ ˜
G
1 (F ), semi-simple et fortement ˜
G-régulier. Pour γ ∈ ˜
G(F ) tel que (δ 1 , γ) ∈ D 1 , il y a un homomorphisme