I.2. Transfert
33
(b) α est de type 2 et (N ˆ
α)(s) = ±1, autrement dit ni (ˆ α) res , ni 2(ˆ α) res n’appartiennent à Σ( ˆ
T
) ;
(c) α est de type 2 et (N ˆ
α)(s) = −1, autrement dit 2(ˆ α) res ∈ Σ( ˆ
T
) ;
(d) α est de type 1 ou 2 et (N ˆ
α)(s) = 1.
On pose
Δ II,αres (δ, γ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
χ αres (
(Nα)(ν)−1
aα res
),
dans le cas (a),
χ αres (
(Nα)(ν)
2 −1
aα res
),
dans le cas (b),
χ αres ((N α)(ν) + 1), dans le cas (c),
1,
dans le cas (d)
Ce terme ne dépend que de l’orbite de α res pour l’action de Γ F . On pose
Δ II (δ, γ) =
αres
Δ II,αres (δ, γ),
où le produit porte sur les orbites de l’action de Γ F dans Σ(T ) res,ind .
On définit alors le bifacteur de transfert
Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ)Δ II (δ, γ)
−1
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
Remarques.
(1) Ce terme est indépendant de tous les choix de données auxiliaires.
(2) On a rassemblé dans le facteur Δ imp les facteurs plus habituels Δ I et Δ III .
Cela parce que l’on a fait disparaître le traditionnel groupe G
∗ qui nous
semble inadapté à l’endoscopie tordue.
(3) On a tenté d’incorporer dans les définitions les changements de signes introduits dans [49] 5.4. On n’est pas sûr d’avoir réussi.
I.2.3 Bifacteur de transfert et K-groupes
On suppose ici F = R, on considère un K-espace tordu comme en 1.11. On veut
définir le bifacteur de transfert sur D K ˜
G,1 × D K ˜
G,1 . On reprend les constructions
précédentes. Du côté dual, il n’y a rien de changé, l’espace K ˜
G n’intervenant pas.
Du côté des groupes sur R, les tores U et S 1 se définissent aussi bien si γ et γ
appartiennent à des composantes connexes différentes de K ˜
G(R) (il suffit pour les
définir d’identifier les centres des différents groupes G p ). La seule chose à changer
est la condition de cohérence imposée aux choix de e, u E (σ), e et u E (σ). Dans
le paragraphe précédent, on avait choisi r ∈ G SC tel que ad r (E) = E. Supposons maintenant que γ ∈ ˜
G p (R) et γ ∈ ˜
G p (R). On choisit r ∈ G p,SC tel que
ad r ◦φ p,p (E) = E. On impose e = ad r ◦ ˜
φ p,p (e) et
u E (σ) = rφ p,p (u E (σ))∇ p,p (σ)σ(r)
−1 .
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(b) α est de type 2 et (N ˆ
α)(s) = ±1, autrement dit ni (ˆ α) res , ni 2(ˆ α) res n’appartiennent à Σ( ˆ
T
) ;
(c) α est de type 2 et (N ˆ
α)(s) = −1, autrement dit 2(ˆ α) res ∈ Σ( ˆ
T
) ;
(d) α est de type 1 ou 2 et (N ˆ
α)(s) = 1.
On pose
Δ II,αres (δ, γ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
χ αres (
(Nα)(ν)−1
aα res
),
dans le cas (a),
χ αres (
(Nα)(ν)
2 −1
aα res
),
dans le cas (b),
χ αres ((N α)(ν) + 1), dans le cas (c),
1,
dans le cas (d)
Ce terme ne dépend que de l’orbite de α res pour l’action de Γ F . On pose
Δ II (δ, γ) =
αres
Δ II,αres (δ, γ),
où le produit porte sur les orbites de l’action de Γ F dans Σ(T ) res,ind .
On définit alors le bifacteur de transfert
Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ) = Δ II (δ, γ)Δ II (δ, γ)
−1
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
Remarques.
(1) Ce terme est indépendant de tous les choix de données auxiliaires.
(2) On a rassemblé dans le facteur Δ imp les facteurs plus habituels Δ I et Δ III .
Cela parce que l’on a fait disparaître le traditionnel groupe G
∗ qui nous
semble inadapté à l’endoscopie tordue.
(3) On a tenté d’incorporer dans les définitions les changements de signes introduits dans [49] 5.4. On n’est pas sûr d’avoir réussi.
I.2.3 Bifacteur de transfert et K-groupes
On suppose ici F = R, on considère un K-espace tordu comme en 1.11. On veut
définir le bifacteur de transfert sur D K ˜
G,1 × D K ˜
G,1 . On reprend les constructions
précédentes. Du côté dual, il n’y a rien de changé, l’espace K ˜
G n’intervenant pas.
Du côté des groupes sur R, les tores U et S 1 se définissent aussi bien si γ et γ
appartiennent à des composantes connexes différentes de K ˜
G(R) (il suffit pour les
définir d’identifier les centres des différents groupes G p ). La seule chose à changer
est la condition de cohérence imposée aux choix de e, u E (σ), e et u E (σ). Dans
le paragraphe précédent, on avait choisi r ∈ G SC tel que ad r (E) = E. Supposons maintenant que γ ∈ ˜
G p (R) et γ ∈ ˜
G p (R). On choisit r ∈ G p,SC tel que
ad r ◦φ p,p (E) = E. On impose e = ad r ◦ ˜
φ p,p (e) et
u E (σ) = rφ p,p (u E (σ))∇ p,p (σ)σ(r)
−1 .