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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
encore notée ω − 1 : T 1 → ˆ
T sc . Autrement dit, on a un diagramme commutatif
ˆ
T 1
ω−1
/ /
ω−1 @
@
@
@
@
@
@
@
ˆ
T 1
ˆ
T sc
j
> >
~
~
~
~
~
~
~
~
Notons ˆ
S 1 le sous-tore de ˆ
T 1 × ˆ
T 1 × ˆ
T sc formé des (t, t, t sc ) tels que j(t sc ) = tt
−1 .
On le munit de l’action de Γ F définie par
(σ, (t, t, t sc )) → (σ T (t), σ T (t), σ T (t sc )(ω T,G (σ)ω T ,G (σ)
−1
− 1)σ T (t))
= (σ T (t), σ T (t), σ T (t sc )(1 − ω T ,G (σ)ω T,G (σ)
−1 )σ T (t)).
On vérifie que ˆ
S 1 est le tore dual de S 1 . Pour w ∈ W F , on fixe un élément
g sc (w) ∈ ˆ
G SC qui ait même image que g(w) dans ˆ
G AD . On définit une cochaîne
t T,sc : W F → ˆ
T sc par
t T,sc (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω T (w))g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 ,
puis la cochaîne t sc = t T,sc t
−1
T ,sc . On définit ensuite une cochaîne ˆ
V 1 : W F →
ˆ
T 1 × ˆ
T 1 × ˆ
T sc par ˆ
V 1 (w) = ( ˆ
V T1 (w), ˆ
V T 1 (w), t sc (w)). Elle prend ses valeurs dans
ˆ
S 1 et c’est un cocycle.
Le tore dual de U est ˆ
U = ( ˆ
T sc × ˆ
T sc )/ diag(Z( ˆ
G SC )), où diag est le plongement diagonal. On fixe un élément s sc ayant même image que s dans ˆ
G AD
(rappelons que ˜
s = s ˆ
θ). On définit l’élément s = (s sc , s sc ) de ˆ
U . On dispose de
l’homomorphisme 1 − ˆ
θ : ˆ
S 1 → ˆ
U dual de l’homomorphisme 1 − θ : U → S 1 . On
vérifie que le couple ( ˆ
V 1 , s) appartient à Z
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
D’après [48] A.3, on dispose d’un produit
., . : H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) → C
× .
On pose
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) =
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
−1
,
en notant de la même façon les éléments de Z
1,0 et leurs images dans H
1,0 .
La bijection α → ˆ
α de Σ(T ) sur Σ( ˆ
T ) induit une bijection α res → ˆ
α res de
Σ(T ) res,ind sur Σ( ˆ
T ) res,ind . On peut donc considérer nos χ-data comme des χ-data
pour l’ensemble Σ(T ) res,ind . Considérons un élément de Σ(T ) res,ind que l’on écrit
α res , avec α ∈ Σ(T ). Puisque α res est indivisible, α est du type 1 ou 2. On distingue
les cas suivants :
(a) α est de type 1 et (N ˆ
α)(s) = 1, autrement dit (ˆ α) res ∈ Σ( ˆ
T
) ;
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
encore notée ω − 1 : T 1 → ˆ
T sc . Autrement dit, on a un diagramme commutatif
ˆ
T 1
ω−1
/ /
ω−1 @
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ˆ
T 1
ˆ
T sc
j
> >
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Notons ˆ
S 1 le sous-tore de ˆ
T 1 × ˆ
T 1 × ˆ
T sc formé des (t, t, t sc ) tels que j(t sc ) = tt
−1 .
On le munit de l’action de Γ F définie par
(σ, (t, t, t sc )) → (σ T (t), σ T (t), σ T (t sc )(ω T,G (σ)ω T ,G (σ)
−1
− 1)σ T (t))
= (σ T (t), σ T (t), σ T (t sc )(1 − ω T ,G (σ)ω T,G (σ)
−1 )σ T (t)).
On vérifie que ˆ
S 1 est le tore dual de S 1 . Pour w ∈ W F , on fixe un élément
g sc (w) ∈ ˆ
G SC qui ait même image que g(w) dans ˆ
G AD . On définit une cochaîne
t T,sc : W F → ˆ
T sc par
t T,sc (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω T (w))g sc (w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 ,
puis la cochaîne t sc = t T,sc t
−1
T ,sc . On définit ensuite une cochaîne ˆ
V 1 : W F →
ˆ
T 1 × ˆ
T 1 × ˆ
T sc par ˆ
V 1 (w) = ( ˆ
V T1 (w), ˆ
V T 1 (w), t sc (w)). Elle prend ses valeurs dans
ˆ
S 1 et c’est un cocycle.
Le tore dual de U est ˆ
U = ( ˆ
T sc × ˆ
T sc )/ diag(Z( ˆ
G SC )), où diag est le plongement diagonal. On fixe un élément s sc ayant même image que s dans ˆ
G AD
(rappelons que ˜
s = s ˆ
θ). On définit l’élément s = (s sc , s sc ) de ˆ
U . On dispose de
l’homomorphisme 1 − ˆ
θ : ˆ
S 1 → ˆ
U dual de l’homomorphisme 1 − θ : U → S 1 . On
vérifie que le couple ( ˆ
V 1 , s) appartient à Z
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ).
D’après [48] A.3, on dispose d’un produit
., . : H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) → C
× .
On pose
Δ imp (δ 1 , γ; δ 1 , γ) =
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , s)
−1
,
en notant de la même façon les éléments de Z
1,0 et leurs images dans H
1,0 .
La bijection α → ˆ
α de Σ(T ) sur Σ( ˆ
T ) induit une bijection α res → ˆ
α res de
Σ(T ) res,ind sur Σ( ˆ
T ) res,ind . On peut donc considérer nos χ-data comme des χ-data
pour l’ensemble Σ(T ) res,ind . Considérons un élément de Σ(T ) res,ind que l’on écrit
α res , avec α ∈ Σ(T ). Puisque α res est indivisible, α est du type 1 ou 2. On distingue
les cas suivants :
(a) α est de type 1 et (N ˆ
α)(s) = 1, autrement dit (ˆ α) res ∈ Σ( ˆ
T
) ;