I.2. Transfert
31
il y a néanmoins une injection naturelle du premier dans le second : l’image de
α ∈ Σ( ˆ
T
) est le seul élément de Σ( ˆ
T ) res,ind ∩ {α/2, α}, cf. 1.6. Cette injection est
équivariante pour les actions galoisiennes. De nos χ-data se déduisent des χ-data
pour l’ensemble Σ( ˆ
T
). On définit alors une cochaîne ˆ
r T,G : W F → ˆ
T
sc où ˆ
T
sc est
l’image réciproque de ˆ
T
dans ˆ
G
SC . Sa définition est copiée sur celle de ˆ
r T .
On introduit les sections de Springer
ˆ
n : W
θ
→ ˆ
G
ˆ
θ
SC
et ˆ
n G : W
G
→ ˆ
G
SC
associées aux paires de Borel épinglées ˆ
E et ˆ
E
. Plus exactement, dans le cas de
ˆ
n, à la paire de Borel épinglée de ˆ
G
ˆ
θ
SC qui se déduit naturellement de ˆ
E. Celle-ci
a pour paire de Borel sous-jacente la paire ( ˆ
B sc ∩ ˆ
G
ˆ
θ
SC , ˆ
T
ˆ
θ
sc ) et les éléments de
l’épinglage sont les ˆ
E α + ˆ
E ˆ
θα + · · · + ˆ
E ˆ
θ nα−1 α pour α ∈ Δ, où n α ≥ 1 est le plus
petit entier n ≥ 1 tel que ˆ
θ
n α = α. Rappelons que l’on a modifié l’isomorphisme
L G ˆ
G W F , cf. 1.5. On fixe une application
W F →
G
w → g w = (g(w), w)
de sorte que ad g(w) w G agisse comme w G sur ˆ
G
. Pour w ∈ W F , posons
t T (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω T (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 .
L’action galoisienne sur ˆ
T , relevée en une action de W F , est w → ˆ
n(ω T (w))w G =
ad ˆ
n(ωT (w))g(w) −1 w G . Restreinte à ˆ
T
, elle est égale à ad ˆ
n G (ω T,G (w)) w G . Donc
l’élément ˆ
n(ω T (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 appartient à ˆ
T .
Il en résulte que t T (w) ∈ ˆ
T . On montre que le cobord dt T de la cochaîne t T est
égal à celui de la cochaîne w → g(w)
−1 , qui prend ses valeurs dans Z( ˆ
G
). Rappelons que l’on a un plongement ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 . Notons ˆ
T
1 le commutant dans ˆ
G
1 de
ˆ
ξ 1 ( ˆ
T
) et ˆ
B
1 le groupe engendré par ˆ
T
1 et ˆ
ξ 1 ( ˆ
B
). Le triplet ( ˆ
B
1 , ˆ
T
1 , ( ˆ
ξ 1 ( ˆ
E
α )) α∈Δ )
est une paire de Borel épinglée de ˆ
G
1 . Comme en 1.5, on modifie l’isomorphisme
L G
1 ˆ
G
1 W F de sorte que l’action d’un élément de W F conserve cette paire.
On munit ˆ
T
1 de la nouvelle action galoisienne (σ, t 1 ) → σ T (t 1 ) = ω T,G (σ)σ G
1
(t 1 ).
Muni de cette action, ˆ
T
1 est le tore dual de T
1 . Posons ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w). D’après
la définition de g w , ζ 1 (w) appartient au centre de ˆ
G 1 , a fortiori à ˆ
T
1 . Notons ˆ
T 1
le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T par la relation d’équivalence (t 1 ˆ
ξ(t
), t) = (t 1 , t
t) pour tout
t
∈ ˆ
T
. C’est le tore dual de T 1 . On définit une cochaîne ˆ
V T1 : W F → ˆ
T 1 : ˆ
V T1 (w)
est l’image de (ζ 1 (w), t T (w)) dans ˆ
T 1 . C’est un cocycle.
On définit les objets similaires relatifs au tore T . Remarquons que, quand
on oublie les actions galoisiennes, on a l’égalité ˆ
T 1 = ˆ
T 1 et qu’il y a un homomorphisme naturel j : ˆ
T sc → ˆ
T 1 = ˆ
T 1 . On vérifie que, pour tout ω ∈ W
G
,
l’application ω − 1 de ˆ
T 1 dans lui-même se relève en une application naturelle
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il y a néanmoins une injection naturelle du premier dans le second : l’image de
α ∈ Σ( ˆ
T
) est le seul élément de Σ( ˆ
T ) res,ind ∩ {α/2, α}, cf. 1.6. Cette injection est
équivariante pour les actions galoisiennes. De nos χ-data se déduisent des χ-data
pour l’ensemble Σ( ˆ
T
). On définit alors une cochaîne ˆ
r T,G : W F → ˆ
T
sc où ˆ
T
sc est
l’image réciproque de ˆ
T
dans ˆ
G
SC . Sa définition est copiée sur celle de ˆ
r T .
On introduit les sections de Springer
ˆ
n : W
θ
→ ˆ
G
ˆ
θ
SC
et ˆ
n G : W
G
→ ˆ
G
SC
associées aux paires de Borel épinglées ˆ
E et ˆ
E
. Plus exactement, dans le cas de
ˆ
n, à la paire de Borel épinglée de ˆ
G
ˆ
θ
SC qui se déduit naturellement de ˆ
E. Celle-ci
a pour paire de Borel sous-jacente la paire ( ˆ
B sc ∩ ˆ
G
ˆ
θ
SC , ˆ
T
ˆ
θ
sc ) et les éléments de
l’épinglage sont les ˆ
E α + ˆ
E ˆ
θα + · · · + ˆ
E ˆ
θ nα−1 α pour α ∈ Δ, où n α ≥ 1 est le plus
petit entier n ≥ 1 tel que ˆ
θ
n α = α. Rappelons que l’on a modifié l’isomorphisme
L G ˆ
G W F , cf. 1.5. On fixe une application
W F →
G
w → g w = (g(w), w)
de sorte que ad g(w) w G agisse comme w G sur ˆ
G
. Pour w ∈ W F , posons
t T (w) = ˆ
r T (w)ˆ n(ω T (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 ˆ
r T,G (w)
−1 .
L’action galoisienne sur ˆ
T , relevée en une action de W F , est w → ˆ
n(ω T (w))w G =
ad ˆ
n(ωT (w))g(w) −1 w G . Restreinte à ˆ
T
, elle est égale à ad ˆ
n G (ω T,G (w)) w G . Donc
l’élément ˆ
n(ω T (w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω T,G (w))
−1 appartient à ˆ
T .
Il en résulte que t T (w) ∈ ˆ
T . On montre que le cobord dt T de la cochaîne t T est
égal à celui de la cochaîne w → g(w)
−1 , qui prend ses valeurs dans Z( ˆ
G
). Rappelons que l’on a un plongement ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 . Notons ˆ
T
1 le commutant dans ˆ
G
1 de
ˆ
ξ 1 ( ˆ
T
) et ˆ
B
1 le groupe engendré par ˆ
T
1 et ˆ
ξ 1 ( ˆ
B
). Le triplet ( ˆ
B
1 , ˆ
T
1 , ( ˆ
ξ 1 ( ˆ
E
α )) α∈Δ )
est une paire de Borel épinglée de ˆ
G
1 . Comme en 1.5, on modifie l’isomorphisme
L G
1 ˆ
G
1 W F de sorte que l’action d’un élément de W F conserve cette paire.
On munit ˆ
T
1 de la nouvelle action galoisienne (σ, t 1 ) → σ T (t 1 ) = ω T,G (σ)σ G
1
(t 1 ).
Muni de cette action, ˆ
T
1 est le tore dual de T
1 . Posons ˆ
ξ 1 (g w ) = (ζ 1 (w), w). D’après
la définition de g w , ζ 1 (w) appartient au centre de ˆ
G 1 , a fortiori à ˆ
T
1 . Notons ˆ
T 1
le quotient de ˆ
T
1 × ˆ
T par la relation d’équivalence (t 1 ˆ
ξ(t
), t) = (t 1 , t
t) pour tout
t
∈ ˆ
T
. C’est le tore dual de T 1 . On définit une cochaîne ˆ
V T1 : W F → ˆ
T 1 : ˆ
V T1 (w)
est l’image de (ζ 1 (w), t T (w)) dans ˆ
T 1 . C’est un cocycle.
On définit les objets similaires relatifs au tore T . Remarquons que, quand
on oublie les actions galoisiennes, on a l’égalité ˆ
T 1 = ˆ
T 1 et qu’il y a un homomorphisme naturel j : ˆ
T sc → ˆ
T 1 = ˆ
T 1 . On vérifie que, pour tout ω ∈ W
G
,
l’application ω − 1 de ˆ
T 1 dans lui-même se relève en une application naturelle