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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
cette action, les isomorphismes ci-dessus deviennent équivariants, autrement dit
ˆ
T , muni de cette action, est le tore dual de T . C’est cette action que l’on utilise
dans la suite. On note Σ( ˆ
T ) res,ind l’ensemble des racines de ˆ
T
ˆ
θ,0 dans l’algèbre de
Lie de ˆ
G
ˆ
θ,0 . Il s’identifie à l’ensemble des éléments indivisibles dans Σ( ˆ
T ) res , cf.
1.6. Il est de plus muni de l’action galoisienne provenant de celle sur ˆ
T . On fixe
des χ-data (χ α ) α∈Σ( ˆ
T ) res,ind
pour cette action, cf. [59] paragraphe 2.5.
Considérons l’ensemble des orbites de l’action galoisienne dans Σ( ˆ
T ) res,ind .
Disons qu’une orbite O est symétrique si O = −O (ou, ce qui revient au même, si
O ∩ (−O) = ∅) et qu’elle est asymétrique sinon. Considérons un couple (O, −O)
d’orbites asymétriques. Fixons α ∈ O, notons F α l’extension de F telle que Γ Fα
soit le fixateur de α dans Γ F . Fixons un ensemble de représentants w 1 , . . . , w n du
quotient W Fα \W F . Soit w ∈ W F . Pour tout i = 1, . . . , n, il y a un unique couple
(j, v i (w)) ∈ {1, . . . , n} × W Fα tel que w i w = v i (w)w j . On pose
ˆ
r
O,−O
T
(w) =
β∈O;β>0,w −1 β<0
ˇ
β(−1)
i=1,...,n
(w
−1
i ˇ
α)(χ α (v i (w)))
.
La positivité est relative à ˆ
B ∩ ˆ
G
ˆ
θ,0 . Grâce à l’isomorphisme du corps de classes,
on a identifié χ α à un caractère de W Fα . Considérons maintenant une orbite symétrique O. On fixe α ∈ O et des éléments w 0 , w 1 , . . . , w n ∈ W F de sorte que
w
−1
0 α = −α et i → w
−1
i α soit une bijection de {1, . . . , n} sur l’ensemble des éléments positifs de O. Pour i = 1, . . . , n, on pose w −i = w 0 w i . Soit w ∈ W F . Pour
tout i = 1, . . . , n, il y a un unique couple (j, v i (w)) ∈ {±1, . . . , ±n} × W Fα (avec
la définition ci-dessus de F α ) de sorte que w i w = v i (w)w j . On pose
ˆ
r
O
T (w) =
i=1,...,n
(w
−1
i ˇ
α)(χ α (v i (w))).
On note ˆ
r T (w) le produit des ˆ
r
O,−O (w) sur les paires (O, −O) d’orbites
asymétriques et des ˆ
r
O
T (w) sur les orbites O symétriques. Cela définit une cochaîne
ˆ
r T : W F → ˆ
T
ˆ
θ
sc . On a effectué de nombreux choix, mais on montre qu’ils n’affectent
cette cochaîne que par multiplication par un cobord, ce qui est sans importance
pour la suite.
On peut effectuer des constructions analogues dans le groupe ˆ
G
. Il existe
un cocycle ω T,G : Γ F → W
G
de sorte qu’en munissant le tore ˆ
T
de l’action
(σ, t) → σ T (t) = ω T,G (σ)σ G (t), ce tore s’identifie au tore dual de T
. En fait
l’égalité ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 est compatible aux actions que l’on vient de définir sur ˆ
T
et
ˆ
T . C’est une conséquence du fait que l’application ξ T,T : T → T
est équivariante
pour les actions galoisiennes. On munit l’ensemble Σ( ˆ
T
) des racines de ˆ
T
dans
l’algèbre de Lie de ˆ
G
de l’action galoisienne provenant de celle que l’on vient
de définir sur ˆ
T
. Cet ensemble n’est pas forcément inclus dans Σ( ˆ
T ) res,ind , mais
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
cette action, les isomorphismes ci-dessus deviennent équivariants, autrement dit
ˆ
T , muni de cette action, est le tore dual de T . C’est cette action que l’on utilise
dans la suite. On note Σ( ˆ
T ) res,ind l’ensemble des racines de ˆ
T
ˆ
θ,0 dans l’algèbre de
Lie de ˆ
G
ˆ
θ,0 . Il s’identifie à l’ensemble des éléments indivisibles dans Σ( ˆ
T ) res , cf.
1.6. Il est de plus muni de l’action galoisienne provenant de celle sur ˆ
T . On fixe
des χ-data (χ α ) α∈Σ( ˆ
T ) res,ind
pour cette action, cf. [59] paragraphe 2.5.
Considérons l’ensemble des orbites de l’action galoisienne dans Σ( ˆ
T ) res,ind .
Disons qu’une orbite O est symétrique si O = −O (ou, ce qui revient au même, si
O ∩ (−O) = ∅) et qu’elle est asymétrique sinon. Considérons un couple (O, −O)
d’orbites asymétriques. Fixons α ∈ O, notons F α l’extension de F telle que Γ Fα
soit le fixateur de α dans Γ F . Fixons un ensemble de représentants w 1 , . . . , w n du
quotient W Fα \W F . Soit w ∈ W F . Pour tout i = 1, . . . , n, il y a un unique couple
(j, v i (w)) ∈ {1, . . . , n} × W Fα tel que w i w = v i (w)w j . On pose
ˆ
r
O,−O
T
(w) =
β∈O;β>0,w −1 β<0
ˇ
β(−1)
i=1,...,n
(w
−1
i ˇ
α)(χ α (v i (w)))
.
La positivité est relative à ˆ
B ∩ ˆ
G
ˆ
θ,0 . Grâce à l’isomorphisme du corps de classes,
on a identifié χ α à un caractère de W Fα . Considérons maintenant une orbite symétrique O. On fixe α ∈ O et des éléments w 0 , w 1 , . . . , w n ∈ W F de sorte que
w
−1
0 α = −α et i → w
−1
i α soit une bijection de {1, . . . , n} sur l’ensemble des éléments positifs de O. Pour i = 1, . . . , n, on pose w −i = w 0 w i . Soit w ∈ W F . Pour
tout i = 1, . . . , n, il y a un unique couple (j, v i (w)) ∈ {±1, . . . , ±n} × W Fα (avec
la définition ci-dessus de F α ) de sorte que w i w = v i (w)w j . On pose
ˆ
r
O
T (w) =
i=1,...,n
(w
−1
i ˇ
α)(χ α (v i (w))).
On note ˆ
r T (w) le produit des ˆ
r
O,−O (w) sur les paires (O, −O) d’orbites
asymétriques et des ˆ
r
O
T (w) sur les orbites O symétriques. Cela définit une cochaîne
ˆ
r T : W F → ˆ
T
ˆ
θ
sc . On a effectué de nombreux choix, mais on montre qu’ils n’affectent
cette cochaîne que par multiplication par un cobord, ce qui est sans importance
pour la suite.
On peut effectuer des constructions analogues dans le groupe ˆ
G
. Il existe
un cocycle ω T,G : Γ F → W
G
de sorte qu’en munissant le tore ˆ
T
de l’action
(σ, t) → σ T (t) = ω T,G (σ)σ G (t), ce tore s’identifie au tore dual de T
. En fait
l’égalité ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 est compatible aux actions que l’on vient de définir sur ˆ
T
et
ˆ
T . C’est une conséquence du fait que l’application ξ T,T : T → T
est équivariante
pour les actions galoisiennes. On munit l’ensemble Σ( ˆ
T
) des racines de ˆ
T
dans
l’algèbre de Lie de ˆ
G
de l’action galoisienne provenant de celle que l’on vient
de définir sur ˆ
T
. Cet ensemble n’est pas forcément inclus dans Σ( ˆ
T ) res,ind , mais