I.2. Transfert
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de W
θ que nous notons ω T (σ). D’autre part, à la paire de Borel épinglée E est
associée une section de Springer n E : W → G SC , cf. [59] 2.1. On définit une
cochaîne V T : Γ F → T sc par
V T (σ) = r T (σ)n E (ω T (σ))u E (σ).
Notons que n E (ω T (σ)) ∈ G SC,e car n E est équivariante pour l’action de θ. On
vérifie que dV T = du E . Notons T
1 le commutant de δ 1 dans G
1 . On a deux homomorphismes équivariants pour les actions galoisiennes
T
1
ξ T
1 ,T
→ T
ξ T,T
← T.
Notons T 1 le produit fibré de T
1 et T au-dessus de T
, c’est-à-dire
T 1 = {(t 1 , t) ∈ T
1 × T ; ξ T
1 ,T (t 1 ) = ξ T,T (t)}.
Notons e
l’image naturelle de e dans Z( ˜
G
). Relevons-le en un élément e
1 ∈ Z( ˜
G 1 ).
Ecrivons γ = νe et δ 1 = μ 1 e
1 puis posons ν 1 = (μ 1 , ν). Alors ν 1 appartient à T 1 :
l’image commune de ν et μ 1 dans T
est l’élément μ tel que δ = μe
. Remarquons
qu’il y a un homomorphisme naturel 1 − θ : T sc → T 1 : à t sc ∈ T sc , il associe le
couple (1, (1 − θ) ◦ π(t sc )) ∈ T 1 . On vérifie l’égalité
(1 − θ)(V T (σ)) = (z 1 (σ), z(σ))σ(ν 1 )ν
−1
1 ,
où z(σ) et z 1 (σ) sont les éléments de Z(G), resp. Z(G
1 ), tels que
u E (σ)σ(e)u E (σ)
−1 = z(σ)
−1 e, resp. σ(e
1 ) = z 1 (σ)
−1 e
1 .
On effectue les mêmes constructions pour la paire (δ 1 , γ). On utilise les mêmes
notations, en les soulignant. Il est essentiel d’effectuer pour ces données des choix
cohérents avec ceux faits pour la première paire. Pour cela, on fixe r ∈ G SC
tel que ad r (E) = E. On choisit e = ad r (e), u E (σ) = ru E (σ)σ(r)
−1 et e
1 = e
1
(ce dernier choix est loisible puisque e et e ont même image e
dans Z( ˜
G
). Définissons le tore U = (T sc × T sc )/ diag − (Z(G SC )), où diag − est le plongement
antidiagonal. On définit une cochaîne V : Γ F → U : V (σ) est l’image dans U de
(V T (σ), V T (σ)
−1 ). C’est un cocycle. Introduisons le groupe Z 1 formé des couples
(z 1 , z) ∈ Z(G
1 ) × Z(G) qui ont même image dans Z(G
). Définissons le tore
S 1 = (T 1 × T 1 )/ diag − (Z 1 ). Notons ν 1 = (ν 1 , ν
−1
1 ). Des homomorphismes 1 − θ
définis ci-dessus se déduit un autre homomorphisme 1 − θ : U → S 1 . On vérifie
que le couple (V, ν 1 ) appartient à Z
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ).
On va effectuer des constructions similaires du côté dual. Des deux paires
de Borel E et ˆ
E se déduisent des isomorphismes en dualité X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ) et
X
∗ (T ) X ∗ ( ˆ
T ). Pour σ ∈ Γ F , on a défini plus haut l’élément ω T (σ) ∈ W
θ . On
peut munir le tore ˆ
T d’une nouvelle action galoisienne de sorte que σ agisse par
σ T = ω T (σ)σ G (où σ G est l’action qui conserve ˆ
E, cf. 1.5). On vérifie que, pour
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de W
θ que nous notons ω T (σ). D’autre part, à la paire de Borel épinglée E est
associée une section de Springer n E : W → G SC , cf. [59] 2.1. On définit une
cochaîne V T : Γ F → T sc par
V T (σ) = r T (σ)n E (ω T (σ))u E (σ).
Notons que n E (ω T (σ)) ∈ G SC,e car n E est équivariante pour l’action de θ. On
vérifie que dV T = du E . Notons T
1 le commutant de δ 1 dans G
1 . On a deux homomorphismes équivariants pour les actions galoisiennes
T
1
ξ T
1 ,T
→ T
ξ T,T
← T.
Notons T 1 le produit fibré de T
1 et T au-dessus de T
, c’est-à-dire
T 1 = {(t 1 , t) ∈ T
1 × T ; ξ T
1 ,T (t 1 ) = ξ T,T (t)}.
Notons e
l’image naturelle de e dans Z( ˜
G
). Relevons-le en un élément e
1 ∈ Z( ˜
G 1 ).
Ecrivons γ = νe et δ 1 = μ 1 e
1 puis posons ν 1 = (μ 1 , ν). Alors ν 1 appartient à T 1 :
l’image commune de ν et μ 1 dans T
est l’élément μ tel que δ = μe
. Remarquons
qu’il y a un homomorphisme naturel 1 − θ : T sc → T 1 : à t sc ∈ T sc , il associe le
couple (1, (1 − θ) ◦ π(t sc )) ∈ T 1 . On vérifie l’égalité
(1 − θ)(V T (σ)) = (z 1 (σ), z(σ))σ(ν 1 )ν
−1
1 ,
où z(σ) et z 1 (σ) sont les éléments de Z(G), resp. Z(G
1 ), tels que
u E (σ)σ(e)u E (σ)
−1 = z(σ)
−1 e, resp. σ(e
1 ) = z 1 (σ)
−1 e
1 .
On effectue les mêmes constructions pour la paire (δ 1 , γ). On utilise les mêmes
notations, en les soulignant. Il est essentiel d’effectuer pour ces données des choix
cohérents avec ceux faits pour la première paire. Pour cela, on fixe r ∈ G SC
tel que ad r (E) = E. On choisit e = ad r (e), u E (σ) = ru E (σ)σ(r)
−1 et e
1 = e
1
(ce dernier choix est loisible puisque e et e ont même image e
dans Z( ˜
G
). Définissons le tore U = (T sc × T sc )/ diag − (Z(G SC )), où diag − est le plongement
antidiagonal. On définit une cochaîne V : Γ F → U : V (σ) est l’image dans U de
(V T (σ), V T (σ)
−1 ). C’est un cocycle. Introduisons le groupe Z 1 formé des couples
(z 1 , z) ∈ Z(G
1 ) × Z(G) qui ont même image dans Z(G
). Définissons le tore
S 1 = (T 1 × T 1 )/ diag − (Z 1 ). Notons ν 1 = (ν 1 , ν
−1
1 ). Des homomorphismes 1 − θ
définis ci-dessus se déduit un autre homomorphisme 1 − θ : U → S 1 . On vérifie
que le couple (V, ν 1 ) appartient à Z
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ).
On va effectuer des constructions similaires du côté dual. Des deux paires
de Borel E et ˆ
E se déduisent des isomorphismes en dualité X ∗ (T ) X
∗ ( ˆ
T ) et
X
∗ (T ) X ∗ ( ˆ
T ). Pour σ ∈ Γ F , on a défini plus haut l’élément ω T (σ) ∈ W
θ . On
peut munir le tore ˆ
T d’une nouvelle action galoisienne de sorte que σ agisse par
σ T = ω T (σ)σ G (où σ G est l’action qui conserve ˆ
E, cf. 1.5). On vérifie que, pour