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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Notons D 1 l’ensemble des (δ 1 , γ) ∈ ˜
G
1 (F ) × ˜
G(F ) tels que (δ, γ) ∈ D(G
), où
δ est l’image de δ 1 dans ˜
G
(F ). Kottwitz et Shelstad définissent ce que l’on peut
appeler un bifacteur de transfert, que l’on note Δ 1 : D 1 × D 1 → C
× . On rappelle
sa définition (légèrement modifiée : on supprime les termes Δ IV ) au paragraphe
suivant. Il ne dépend que des données déjà fixées. Un facteur de transfert est une
application Δ 1 : D 1 → C
× telle que
Δ 1 (δ 1 , γ)Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 = Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
Il existe un tel facteur. Il est unique à homothétie près. La valeur Δ 1 (δ 1 , γ) ne
dépend que de la classe de conjugaison stable de δ 1 (on rappelle que, δ 1 étant
fortement régulier, sa classe de conjugaison stable est l’intersection de ˜
G
1 (F ) avec
la classe de conjugaison géométrique de δ 1 , c’est-à-dire sa classe de conjugaison
par G
1 = G
1 ( ¯
F )). Pour c 1 ∈ C 1 (F ) et g ∈ G(F ), on a l’égalité
Δ 1 (c 1 δ 1 , g
−1 γg) = λ 1 (c 1 )
−1 ω(g)Δ 1 (δ 1 , γ).
Supposons F = R et considérons un K-espace K ˜
G. En utilisant évidemment
les mêmes données auxiliaires pour chaque espace ˜
G p , on définit l’ensemble D K ˜
G,1
réunion disjointe des D ˜
Gp,1 relatifs à chaque ˜
G p . Comme l’a remarqué Kottwitz,
on peut définir un bifacteur de transfert Δ 1 : D K ˜
G,1 × D K ˜
G,1 → C
× , cf. 2.3.
I.2.2 Définition du bifacteur de transfert
On conserve la situation du paragraphe précédent. On fixe des paires de Borel
épinglées ˆ
E et ˆ
E
comme en 1.5 et on utilise les constructions de ce paragraphe
relatives à ces paires. On fixe deux éléments (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) de D 1 .
On fixe un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ) et on utilise pour celui-ci les notations de 1.10. On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée E. On fixe
e ∈ Z( ˜
G, E) et on pose θ = θ e . On note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans
l’algèbre de Lie de G. Il s’identifie à Σ(T
∗ ) par l’identification E E E
∗ . Mais il est
muni d’une action galoisienne naturelle du fait que T est défini sur F et c’est cette
action que l’on considère dans la suite. L’automorphisme θ agit sur Σ(T ). Comme
en 1.6, on note Σ(T ) res l’ensemble des restrictions α res d’éléments α ∈ Σ(T ) à T
θ,0 .
On note Σ res,ind le sous-ensemble des éléments indivisibles de Σ(T ) res . On fixe des
a-data (a α ) α∈Σ(T ) res,ind pour l’ensemble Σ(T ) res,ind muni de son action galoisienne,
cf. [59] paragraphe 2.2. On les relève en des a-data pour Σ(T ) en posant a α = a αres
si α res est indivisible, a α = a αres/2 sinon. On définit une fonction r T : Γ F → T
θ
sc
par
r T (σ) =
α∈Σ(T ),α>0,σ −1 (α)<0
ˇ
α(a α ),
où la positivité est relative à B et où on considère que les coracines prennent
leurs valeurs dans G SC . Comme en 1.2, on fixe pour tout σ ∈ Γ F un élément
u E (σ) ∈ G SC tel que ad uE (σ) ◦σ conserve E. L’élément u E (σ)
−1 définit un élément
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Notons D 1 l’ensemble des (δ 1 , γ) ∈ ˜
G
1 (F ) × ˜
G(F ) tels que (δ, γ) ∈ D(G
), où
δ est l’image de δ 1 dans ˜
G
(F ). Kottwitz et Shelstad définissent ce que l’on peut
appeler un bifacteur de transfert, que l’on note Δ 1 : D 1 × D 1 → C
× . On rappelle
sa définition (légèrement modifiée : on supprime les termes Δ IV ) au paragraphe
suivant. Il ne dépend que des données déjà fixées. Un facteur de transfert est une
application Δ 1 : D 1 → C
× telle que
Δ 1 (δ 1 , γ)Δ 1 (δ 1 , γ)
−1 = Δ 1 (δ 1 , γ; δ 1 , γ).
Il existe un tel facteur. Il est unique à homothétie près. La valeur Δ 1 (δ 1 , γ) ne
dépend que de la classe de conjugaison stable de δ 1 (on rappelle que, δ 1 étant
fortement régulier, sa classe de conjugaison stable est l’intersection de ˜
G
1 (F ) avec
la classe de conjugaison géométrique de δ 1 , c’est-à-dire sa classe de conjugaison
par G
1 = G
1 ( ¯
F )). Pour c 1 ∈ C 1 (F ) et g ∈ G(F ), on a l’égalité
Δ 1 (c 1 δ 1 , g
−1 γg) = λ 1 (c 1 )
−1 ω(g)Δ 1 (δ 1 , γ).
Supposons F = R et considérons un K-espace K ˜
G. En utilisant évidemment
les mêmes données auxiliaires pour chaque espace ˜
G p , on définit l’ensemble D K ˜
G,1
réunion disjointe des D ˜
Gp,1 relatifs à chaque ˜
G p . Comme l’a remarqué Kottwitz,
on peut définir un bifacteur de transfert Δ 1 : D K ˜
G,1 × D K ˜
G,1 → C
× , cf. 2.3.
I.2.2 Définition du bifacteur de transfert
On conserve la situation du paragraphe précédent. On fixe des paires de Borel
épinglées ˆ
E et ˆ
E
comme en 1.5 et on utilise les constructions de ce paragraphe
relatives à ces paires. On fixe deux éléments (δ 1 , γ) et (δ 1 , γ) de D 1 .
On fixe un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ) et on utilise pour celui-ci les notations de 1.10. On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée E. On fixe
e ∈ Z( ˜
G, E) et on pose θ = θ e . On note Σ(T ) l’ensemble des racines de T dans
l’algèbre de Lie de G. Il s’identifie à Σ(T
∗ ) par l’identification E E E
∗ . Mais il est
muni d’une action galoisienne naturelle du fait que T est défini sur F et c’est cette
action que l’on considère dans la suite. L’automorphisme θ agit sur Σ(T ). Comme
en 1.6, on note Σ(T ) res l’ensemble des restrictions α res d’éléments α ∈ Σ(T ) à T
θ,0 .
On note Σ res,ind le sous-ensemble des éléments indivisibles de Σ(T ) res . On fixe des
a-data (a α ) α∈Σ(T ) res,ind pour l’ensemble Σ(T ) res,ind muni de son action galoisienne,
cf. [59] paragraphe 2.2. On les relève en des a-data pour Σ(T ) en posant a α = a αres
si α res est indivisible, a α = a αres/2 sinon. On définit une fonction r T : Γ F → T
θ
sc
par
r T (σ) =
α∈Σ(T ),α>0,σ −1 (α)<0
ˇ
α(a α ),
où la positivité est relative à B et où on considère que les coracines prennent
leurs valeurs dans G SC . Comme en 1.2, on fixe pour tout σ ∈ Γ F un élément
u E (σ) ∈ G SC tel que ad uE (σ) ◦σ conserve E. L’élément u E (σ)
−1 définit un élément