I.2. Transfert
27
En utilisant (1), on obtient μ(σ)σ(t) = θ
−1 (Y (σ)
−1 )tY (σ), d’où
(2)
σ(γ 1 ) = π(Y (σ)
−1 )γ 1 π(Y (σ)),
où on a rétabli l’homomorphisme π pour plus de précision. Jusque-là, nous n’avons
pas utilisé l’hypothèse que F est non archimédien. Utilisons-la. Le cocycle Y est
à valeurs dans G SC . Or H
1 (Γ F , G SC ) = 0. Donc on peut choisir g 1 ∈ G SC tel que
Y (σ) = g
−1
1 σ(g 1 ). Posons γ = g 1 γ 1 g
−1
1 . La relation (2) implique que γ appartient
à ˜
G(F ). La classe de conjugaison sur ¯
F de γ est la même que celle de γ 1 . En appliquant les définitions de 1.8, la définition γ 1 = et montre que sa classe correspond
à celle de δ. Cela prouve (ii).
Supposons maintenant F = R et considérons un K-espace tordu. On peut
supposer qu’il est issu d’un couple (G, ˜
G) comme en 1.11. On a encore (2). Fixons
γ 2 ∈ ˜
G(F ), écrivons γ 1 = xγ 2 , avec x ∈ G. La relation (2) entraîne
ad γ2 ◦π(Y (σ)) = x
−1 π(Y (σ))σ(x).
Donc la classe du cocycle π(Y ) est fixe par θ. Il existe p ∈ Π et g 1 ∈ G tels que
π(Y (σ)) = g
−1
1 π(p(σ))σ(g 1 ). La relation (2) se récrit
σ(g 1 γ 1 g
−1
1 ) = ad p(σ) −1 (g 1 γ 1 g
−1
1 ).
Posons γ = ˜
φ
−1
p (g 1 γ 1 g
−1
1 ). Alors γ appartient à ˜
G p (R) et, de nouveau, les classes
de conjugaison de γ et δ se correspondent. Cela prouve (iii).
I.2 Transfert
I.2.1 Facteurs de transfert
La situation est la même qu’en 1.5. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique
relevante pour (G, ˜
G, a). On introduit des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 . Le
terme G
1 est un groupe réductif connexe défini et quasi-déployé sur F , C 1 ⊂ G
1
est un tore central défini sur F et induit (c’est-à-dire que X ∗ (C 1 ) possède une base
conservée par l’action de Γ F ). Il y a une suite exacte
1 → C 1 → G
1 → G
→ 1.
Le terme ˜
G
1 est un espace tordu sur G
1 , défini sur F , à torsion intérieure, tel que
˜
G
1 (F ) = ∅. Il y a une surjection ˜
G
1 → ˜
G
compatible avec la surjection G
1 → G
.
Le terme ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 est un plongement compatible aux projections sur W F
dont la restriction à ˆ
G
est un homomorphisme ˆ
G
→ ˆ
G
1 dual de G
1 → G
. Il
existe de telles données auxiliaires, cf. [48] paragraphe 2.2. Fixons-en.
Pour w ∈ W F , soit g w = (g(w), w) ∈ G
. Ecrivons ˆ
ξ 1 (g w ) = (g
1 (w), w).
L’image z C1 (w) de g
1 (w) dans ˆ
G
1 / ˆ
G
= ˆ
C 1 ne dépend pas du choix de g w . L’application w → z C1 (w) est un cocycle, qui détermine un caractère λ 1 de C 1 (F ).
27
En utilisant (1), on obtient μ(σ)σ(t) = θ
−1 (Y (σ)
−1 )tY (σ), d’où
(2)
σ(γ 1 ) = π(Y (σ)
−1 )γ 1 π(Y (σ)),
où on a rétabli l’homomorphisme π pour plus de précision. Jusque-là, nous n’avons
pas utilisé l’hypothèse que F est non archimédien. Utilisons-la. Le cocycle Y est
à valeurs dans G SC . Or H
1 (Γ F , G SC ) = 0. Donc on peut choisir g 1 ∈ G SC tel que
Y (σ) = g
−1
1 σ(g 1 ). Posons γ = g 1 γ 1 g
−1
1 . La relation (2) implique que γ appartient
à ˜
G(F ). La classe de conjugaison sur ¯
F de γ est la même que celle de γ 1 . En appliquant les définitions de 1.8, la définition γ 1 = et montre que sa classe correspond
à celle de δ. Cela prouve (ii).
Supposons maintenant F = R et considérons un K-espace tordu. On peut
supposer qu’il est issu d’un couple (G, ˜
G) comme en 1.11. On a encore (2). Fixons
γ 2 ∈ ˜
G(F ), écrivons γ 1 = xγ 2 , avec x ∈ G. La relation (2) entraîne
ad γ2 ◦π(Y (σ)) = x
−1 π(Y (σ))σ(x).
Donc la classe du cocycle π(Y ) est fixe par θ. Il existe p ∈ Π et g 1 ∈ G tels que
π(Y (σ)) = g
−1
1 π(p(σ))σ(g 1 ). La relation (2) se récrit
σ(g 1 γ 1 g
−1
1 ) = ad p(σ) −1 (g 1 γ 1 g
−1
1 ).
Posons γ = ˜
φ
−1
p (g 1 γ 1 g
−1
1 ). Alors γ appartient à ˜
G p (R) et, de nouveau, les classes
de conjugaison de γ et δ se correspondent. Cela prouve (iii).
I.2 Transfert
I.2.1 Facteurs de transfert
La situation est la même qu’en 1.5. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique
relevante pour (G, ˜
G, a). On introduit des données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 . Le
terme G
1 est un groupe réductif connexe défini et quasi-déployé sur F , C 1 ⊂ G
1
est un tore central défini sur F et induit (c’est-à-dire que X ∗ (C 1 ) possède une base
conservée par l’action de Γ F ). Il y a une suite exacte
1 → C 1 → G
1 → G
→ 1.
Le terme ˜
G
1 est un espace tordu sur G
1 , défini sur F , à torsion intérieure, tel que
˜
G
1 (F ) = ∅. Il y a une surjection ˜
G
1 → ˜
G
compatible avec la surjection G
1 → G
.
Le terme ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 est un plongement compatible aux projections sur W F
dont la restriction à ˆ
G
est un homomorphisme ˆ
G
→ ˆ
G
1 dual de G
1 → G
. Il
existe de telles données auxiliaires, cf. [48] paragraphe 2.2. Fixons-en.
Pour w ∈ W F , soit g w = (g(w), w) ∈ G
. Ecrivons ˆ
ξ 1 (g w ) = (g
1 (w), w).
L’image z C1 (w) de g
1 (w) dans ˆ
G
1 / ˆ
G
= ˆ
C 1 ne dépend pas du choix de g w . L’application w → z C1 (w) est un cocycle, qui détermine un caractère λ 1 de C 1 (F ).