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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
l’homomorphisme ξ T,T est celui associé aux deux paires (B
, T
) et (B, T ). D’autre
part, puisque g est fixe par θ, on a Z( ˜
G, E) = Z( ˜
G, E
∗ ) et θ = θ E .
Par hypothèse, l’image de δ dans ˜
G 0,ab (F ) est aussi l’image d’un élément de
˜
G ab (F ). On peut représenter ce dernier par un élément (μ, e) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC
˜
G), où e appartient à Z( ˜
G, E). Son image dans H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)) est
représentée par le couple (ν 0 , e 0 ) suivant : e 0 est l’image de e dans Z 0 ( ˜
G) et ν 0 (σ)
est l’image de ν(σ) = θ
−1 (u
∗ (σ))μ(σ)u
∗ (σ)
−1 dans Z 0 (G SC ). D’après la preuve de
la bijectivité de l’application 1.12(8), on peut écrire δ = f
π(t
), où t
∈ T
sc , f ∈
Z( ˜
G) et f
est l’image de f dans Z( ˜
G
). L’image de δ dans H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC )
Z 0 ( ˜
G)) est représentée par le couple (ν
, f 0 ), où ν
(σ) = t
σ(t
)
−1 et f 0 est l’image
de f dans Z 0 ( ˜
G). L’égalité des images de δ et (μ, e) signifie que les couples (ν 0 , e 0 )
et (ν
, f 0 ) sont cohomologues, c’est-à-dire qu’il existe z ∈ Z(G SC ) tel que ν
(σ) =
z
−1 ν 0 (σ)σ(z) et f 0 = e 0 z (pour simplifier, on note encore z l’image de cet élément
dans divers quotients de Z(G SC )). Quitte à remplacer le couple (μ, e) par le couple
cohomologue (μ
, ez), où μ
(σ) = z
−1 μ(σ)σ(z), on se ramène à la situation où
f 0 = e 0 , donc f
= e
, et ν
= ν 0 . Rappelons que ν est à valeurs dans Z(G SC ) ⊂ T .
L’égalité ν
= ν 0 signifie que signifie que ξ sc (ν(σ)) = ν
(σ) pour tout σ ∈ Γ F , où
ξ sc : T sc → T
sc relève ξ T,T . Soit t ∈ T sc tel que ξ sc (t) = t
. D’après l’équivariance
de ξ sc , l’égalité précédente signifie que ν(σ) et tσ G ∗ (t)
−1 ont même image dans
T sc /(1 − θ)(T sc ). On peut choisir une cochaîne y : Γ F → T sc telle que
(1)
ν(σ) = (1 − θ
−1 )(y(σ))tσ G ∗ (t)
−1 .
On note d la différentielle pour l’action naturelle σ → σ G et d
∗ celle pour l’action
σ → σ G ∗ . Puisque ν est à valeurs centrales, on a dν = d
∗ ν. D’autre part, θ
commute à l’action σ → σ G ∗ . De l’égalité ci-dessus se déduit la relation dν =
(1 − θ
−1 )(d
∗ y) puis (1 − θ
−1 )(du
∗ d
∗ y) = 1 grâce à 1.12(4). Puisque du
∗ est à
valeurs centrales, c’est un cocycle pour chacune des actions galoisiennes. Donc
du
∗ d
∗ y est un cocycle pour l’action σ → σ G ∗ et l’égalité précédente montre qu’il
prend ses valeurs dans T
θ
sc .
Remarque. La notation T
θ
sc désigne l’ensemble des points fixes par θ dans T sc , et
non pas l’image réciproque dans G SC de T
θ . L’ensemble T
θ
sc est connexe, donc est
un tore.
Les hypothèses d’ellipticité de G
et de δ et l’équivariance de ξ sc entraînent
que ce tore T
θ
sc , muni de l’action σ → σ G ∗ , est elliptique. Donc H
2 (Γ F , T
θ
sc ) = 0
et du
∗ d
∗ y est le cobord d’une cochaîne à valeurs dans T
θ
sc . Quitte à multiplier
y par l’inverse de cette cochaîne, on peut supposer du
∗ d
∗ y = 1. Posons Y (σ) =
y(σ)u
∗ (σ). L’égalité précédente et un calcul standard montrent que Y est un cocycle pour l’action naturelle σ → σ G = ad u ∗ (σ) −1 ◦σ G ∗ . Posons γ 1 = et (ou plus
exactement γ 1 = eπ(t)). Puisque (μ, e) appartient à Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G), on a
σ(e) = eμ(σ), d’où σ(γ 1 ) = eμ(σ)σ(t). On a
μ(σ)σ(t) = θ
−1 (u
∗ (σ)
−1 )ν(σ)u
∗ (σ)u
∗ (σ)
−1 σ G ∗ (t)u
∗ (σ).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
l’homomorphisme ξ T,T est celui associé aux deux paires (B
, T
) et (B, T ). D’autre
part, puisque g est fixe par θ, on a Z( ˜
G, E) = Z( ˜
G, E
∗ ) et θ = θ E .
Par hypothèse, l’image de δ dans ˜
G 0,ab (F ) est aussi l’image d’un élément de
˜
G ab (F ). On peut représenter ce dernier par un élément (μ, e) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC
˜
G), où e appartient à Z( ˜
G, E). Son image dans H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)) est
représentée par le couple (ν 0 , e 0 ) suivant : e 0 est l’image de e dans Z 0 ( ˜
G) et ν 0 (σ)
est l’image de ν(σ) = θ
−1 (u
∗ (σ))μ(σ)u
∗ (σ)
−1 dans Z 0 (G SC ). D’après la preuve de
la bijectivité de l’application 1.12(8), on peut écrire δ = f
π(t
), où t
∈ T
sc , f ∈
Z( ˜
G) et f
est l’image de f dans Z( ˜
G
). L’image de δ dans H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC )
Z 0 ( ˜
G)) est représentée par le couple (ν
, f 0 ), où ν
(σ) = t
σ(t
)
−1 et f 0 est l’image
de f dans Z 0 ( ˜
G). L’égalité des images de δ et (μ, e) signifie que les couples (ν 0 , e 0 )
et (ν
, f 0 ) sont cohomologues, c’est-à-dire qu’il existe z ∈ Z(G SC ) tel que ν
(σ) =
z
−1 ν 0 (σ)σ(z) et f 0 = e 0 z (pour simplifier, on note encore z l’image de cet élément
dans divers quotients de Z(G SC )). Quitte à remplacer le couple (μ, e) par le couple
cohomologue (μ
, ez), où μ
(σ) = z
−1 μ(σ)σ(z), on se ramène à la situation où
f 0 = e 0 , donc f
= e
, et ν
= ν 0 . Rappelons que ν est à valeurs dans Z(G SC ) ⊂ T .
L’égalité ν
= ν 0 signifie que signifie que ξ sc (ν(σ)) = ν
(σ) pour tout σ ∈ Γ F , où
ξ sc : T sc → T
sc relève ξ T,T . Soit t ∈ T sc tel que ξ sc (t) = t
. D’après l’équivariance
de ξ sc , l’égalité précédente signifie que ν(σ) et tσ G ∗ (t)
−1 ont même image dans
T sc /(1 − θ)(T sc ). On peut choisir une cochaîne y : Γ F → T sc telle que
(1)
ν(σ) = (1 − θ
−1 )(y(σ))tσ G ∗ (t)
−1 .
On note d la différentielle pour l’action naturelle σ → σ G et d
∗ celle pour l’action
σ → σ G ∗ . Puisque ν est à valeurs centrales, on a dν = d
∗ ν. D’autre part, θ
commute à l’action σ → σ G ∗ . De l’égalité ci-dessus se déduit la relation dν =
(1 − θ
−1 )(d
∗ y) puis (1 − θ
−1 )(du
∗ d
∗ y) = 1 grâce à 1.12(4). Puisque du
∗ est à
valeurs centrales, c’est un cocycle pour chacune des actions galoisiennes. Donc
du
∗ d
∗ y est un cocycle pour l’action σ → σ G ∗ et l’égalité précédente montre qu’il
prend ses valeurs dans T
θ
sc .
Remarque. La notation T
θ
sc désigne l’ensemble des points fixes par θ dans T sc , et
non pas l’image réciproque dans G SC de T
θ . L’ensemble T
θ
sc est connexe, donc est
un tore.
Les hypothèses d’ellipticité de G
et de δ et l’équivariance de ξ sc entraînent
que ce tore T
θ
sc , muni de l’action σ → σ G ∗ , est elliptique. Donc H
2 (Γ F , T
θ
sc ) = 0
et du
∗ d
∗ y est le cobord d’une cochaîne à valeurs dans T
θ
sc . Quitte à multiplier
y par l’inverse de cette cochaîne, on peut supposer du
∗ d
∗ y = 1. Posons Y (σ) =
y(σ)u
∗ (σ). L’égalité précédente et un calcul standard montrent que Y est un cocycle pour l’action naturelle σ → σ G = ad u ∗ (σ) −1 ◦σ G ∗ . Posons γ 1 = et (ou plus
exactement γ 1 = eπ(t)). Puisque (μ, e) appartient à Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G), on a
σ(e) = eμ(σ), d’où σ(γ 1 ) = eμ(σ)σ(t). On a
μ(σ)σ(t) = θ
−1 (u
∗ (σ)
−1 )ν(σ)u
∗ (σ)u
∗ (σ)
−1 σ G ∗ (t)u
∗ (σ).