I.1. Les définitions de base
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Définition. Nous dirons qu’un élément semi-simple γ ∈ ˜
G(F ) est elliptique si et
seulement s’il existe un tore tordu maximal elliptique ˜
T de ˜
G tel que γ ∈ ˜
T (F ).
Si F est non-archimédien, cette condition équivaut à l’égalité A Gγ = A ˜
G . Si
F est archimédien, la condition d’ellipticité entraîne cette égalité A Gγ = A ˜
G , mais
la réciproque n’est pas toujours vraie.
Proposition.
(i) Soit (δ, γ) ∈ D(G
). Alors les images de δ et γ dans ˜
G 0,ab (F ) par le diagramme 1.12(11) sont égales.
(ii) Supposons G
elliptique et F = R. Soit δ ∈ ˜
G
ss (F ). On suppose que δ est elliptique et ˜
G-régulier, et que l’image de δ dans ˜
G 0,ab (F ) appartient à l’image
de ˜
G ab (F ) par l’application N
˜
G . Alors il existe γ ∈ ˜
G(F ) tel que (δ, γ) appartienne à D(G
).
(iii) Supposons F = R. L’assertion (ii) devient vraie si l’on remplace ˜
G ab (F ) et
D(G
) par K ˜
G ab (R) et D K ˜
G (G
).
Preuve. Soit (δ, γ) ∈ D(G
). Grâce au lemme 1.10, on choisit un diagramme (δ, B
,
T
, B, T, γ) et on utilise les notations de 1.10 pour celui-ci. On note ξ sc : T sc → T
sc
l’homomorphisme relevant ξ T,T , où T
sc est l’image réciproque de T
dans G
sc . Cet
homomorphisme est équivariant pour les actions galoisiennes. On n’a aucun mal
à relever 1.10(6) sous la forme : on peut écrire γ = eπ(t), δ = e
π(t
), avec t ∈ T sc ,
e ∈ Z( ˜
G, E) et t
= ξ sc (t), e
étant l’image de e dans Z( ˜
G
). D’après les définitions,
les images de δ et γ dans ˜
G 0,ab (F ) sont représentés respectivement par les couples
(ν
, e 0 ) et (ν, e 0 ), où ν
(σ) = t
σ(t
)
−1 , ν(σ) = ad
−1
e (u E (σ))tσ(t)
−1 u E (σ)
−1 et e 0
est l’image de e dans Z 0 ( ˜
G).
Pour prouver (i), il suffit de prouver l’égalité ξ sc (ν(σ)) = ν
(σ). Puisque
ν(σ) est central, on a aussi bien ν(σ) = u E (σ)
−1 ad e (u E (σ))t
−1 σ(t). On sait que
u E (σ) définit un élément de W
θ que l’on peut relever en un élément de G e . On
peut donc écrire u E (σ) = n(σ)t(σ), où n(σ) ∈ G e et t(σ) ∈ T sc . Alors ν(σ) =
(θ
−1
− 1)(t(σ))tσ(t)
−1 , d’où ξ sc (ν(σ)) = ξ sc (tσ(t)
−1 ). Puisque ξ sc est équivariant
pour les actions galoisiennes, on en déduit l’égalité cherchée ξ sc (ν(σ)) = ν
(σ).
Plaçons-nous sous les hypothèses de (ii). On choisit une paire de Borel (B
, T
)
de G
conservée par ad δ et on identifie la paire de Borel épinglée E
∗ de G à
une paire particulière. On choisit une cochaîne u E ∗ pour cette paire, on la note
simplement u
∗ . Munissons G de l’action galoisienne σ → σ G ∗ = ad u ∗ (σ) ◦σ. Sa
restriction à T
∗ est l’action déjà introduite sur ce tore et G est quasi-déployé pour
cette action. Posons θ = θ E ∗ . Les deux paires (B
, T
) et (B
∗ , T
∗ ) déterminent
un homomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il y a un cocycle ω T : Γ F → W
θ tel que
σ G ◦ ξ T ∗ ,T ◦ σ
−1
G ∗ = ξ T ∗ ,T ◦ ω T (σ). Le groupe G
θ
SC est lui-aussi quasi-déployé.
D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer g ∈ G
θ
SC tel qu’en posant T = ad g −1 (T
∗ ),
le tore T soit défini sur F pour l’action σ → σ G ∗ et ξ T,T = ξ T ∗ ,T ◦ ad g vérifie
σ G ◦ξ T,T = ξ T,T ◦σ G ∗ . Remarquons qu’en posant E = ad
−1
g (E
∗ ) et B = ad
−1
g (B
∗ ),
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Définition. Nous dirons qu’un élément semi-simple γ ∈ ˜
G(F ) est elliptique si et
seulement s’il existe un tore tordu maximal elliptique ˜
T de ˜
G tel que γ ∈ ˜
T (F ).
Si F est non-archimédien, cette condition équivaut à l’égalité A Gγ = A ˜
G . Si
F est archimédien, la condition d’ellipticité entraîne cette égalité A Gγ = A ˜
G , mais
la réciproque n’est pas toujours vraie.
Proposition.
(i) Soit (δ, γ) ∈ D(G
). Alors les images de δ et γ dans ˜
G 0,ab (F ) par le diagramme 1.12(11) sont égales.
(ii) Supposons G
elliptique et F = R. Soit δ ∈ ˜
G
ss (F ). On suppose que δ est elliptique et ˜
G-régulier, et que l’image de δ dans ˜
G 0,ab (F ) appartient à l’image
de ˜
G ab (F ) par l’application N
˜
G . Alors il existe γ ∈ ˜
G(F ) tel que (δ, γ) appartienne à D(G
).
(iii) Supposons F = R. L’assertion (ii) devient vraie si l’on remplace ˜
G ab (F ) et
D(G
) par K ˜
G ab (R) et D K ˜
G (G
).
Preuve. Soit (δ, γ) ∈ D(G
). Grâce au lemme 1.10, on choisit un diagramme (δ, B
,
T
, B, T, γ) et on utilise les notations de 1.10 pour celui-ci. On note ξ sc : T sc → T
sc
l’homomorphisme relevant ξ T,T , où T
sc est l’image réciproque de T
dans G
sc . Cet
homomorphisme est équivariant pour les actions galoisiennes. On n’a aucun mal
à relever 1.10(6) sous la forme : on peut écrire γ = eπ(t), δ = e
π(t
), avec t ∈ T sc ,
e ∈ Z( ˜
G, E) et t
= ξ sc (t), e
étant l’image de e dans Z( ˜
G
). D’après les définitions,
les images de δ et γ dans ˜
G 0,ab (F ) sont représentés respectivement par les couples
(ν
, e 0 ) et (ν, e 0 ), où ν
(σ) = t
σ(t
)
−1 , ν(σ) = ad
−1
e (u E (σ))tσ(t)
−1 u E (σ)
−1 et e 0
est l’image de e dans Z 0 ( ˜
G).
Pour prouver (i), il suffit de prouver l’égalité ξ sc (ν(σ)) = ν
(σ). Puisque
ν(σ) est central, on a aussi bien ν(σ) = u E (σ)
−1 ad e (u E (σ))t
−1 σ(t). On sait que
u E (σ) définit un élément de W
θ que l’on peut relever en un élément de G e . On
peut donc écrire u E (σ) = n(σ)t(σ), où n(σ) ∈ G e et t(σ) ∈ T sc . Alors ν(σ) =
(θ
−1
− 1)(t(σ))tσ(t)
−1 , d’où ξ sc (ν(σ)) = ξ sc (tσ(t)
−1 ). Puisque ξ sc est équivariant
pour les actions galoisiennes, on en déduit l’égalité cherchée ξ sc (ν(σ)) = ν
(σ).
Plaçons-nous sous les hypothèses de (ii). On choisit une paire de Borel (B
, T
)
de G
conservée par ad δ et on identifie la paire de Borel épinglée E
∗ de G à
une paire particulière. On choisit une cochaîne u E ∗ pour cette paire, on la note
simplement u
∗ . Munissons G de l’action galoisienne σ → σ G ∗ = ad u ∗ (σ) ◦σ. Sa
restriction à T
∗ est l’action déjà introduite sur ce tore et G est quasi-déployé pour
cette action. Posons θ = θ E ∗ . Les deux paires (B
, T
) et (B
∗ , T
∗ ) déterminent
un homomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il y a un cocycle ω T : Γ F → W
θ tel que
σ G ◦ ξ T ∗ ,T ◦ σ
−1
G ∗ = ξ T ∗ ,T ◦ ω T (σ). Le groupe G
θ
SC est lui-aussi quasi-déployé.
D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer g ∈ G
θ
SC tel qu’en posant T = ad g −1 (T
∗ ),
le tore T soit défini sur F pour l’action σ → σ G ∗ et ξ T,T = ξ T ∗ ,T ◦ ad g vérifie
σ G ◦ξ T,T = ξ T,T ◦σ G ∗ . Remarquons qu’en posant E = ad
−1
g (E
∗ ) et B = ad
−1
g (B
∗ ),