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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Concrètement, pour g ∈ G(F ), on écrit g = π(g sc )z, avec g sc ∈ G SC et z ∈ Z(G).
L’image de g par l’application ci-dessus est représentée par le couple (μ, z), où
μ(σ) = g sc σ(g sc )
−1 . Alors ω(g) est le produit par l’accouplement
H
1,0 (Γ F ; T sc → T ) × H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad ) → C
×
des images de g dans le premier groupe et de a dans le second.
On vérifie sur les constructions que le dual de l’homomorphisme
G ab (F )
N
G
→ G 0,ab (F )
est l’homomorphisme naturel
(1)
H
1 (W F ; Z( ˆ
G 0 )) → H
1 (W F ; Z( ˆ
G)).
On a vu que Z( ˆ
G 0 ) = Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 . Notons Z( ˆ
G) ∗ le groupe des x ∈ Z( ˆ
G) tels
que σ(x)x
−1
∈ Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 pour tout σ ∈ Γ F . Le quotient Z( ˆ
G) ∗ /(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
n’est autre que le groupe des invariants (Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF . On a un homomorphisme
Z( ˆ
G) ∗ /(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
G)
ΓF
→ H
1 (W F ; Z( ˆ
G 0 ))
qui, à x ∈ Z( ˆ
G) ∗ , associe le cocycle w → w(x)x
−1 . On vérifie qu’il se quotiente
en un isomorphisme de Z( ˆ
G) ∗ /(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
G)
ΓF sur le noyau de l’homomorphisme (1). Le groupe Z( ˆ
G) ∗ /(Z( ˆ
G)∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
G)
ΓF s’identifie ainsi au groupe dual
de G 0,ab (F )/N
G (G ab (F )). Pour x ∈ Z( ˆ
G) ∗ /(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
G)
ΓF , on note μ x le
caractère associé de G 0,ab (F )/N
G (G ab (F )).
L’application N
˜
G : ˜
G ab (F ) → ˜
G 0,ab (F ) étant compatible à N
G , on voit qu’à
tout x ∈ Z( ˆ
G) ∗ /(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
G)
ΓF , on peut aussi associer une fonction ˜
μ x sur
˜
G 0,ab (F ) telle que
(2) ˜
μ x vaut 1 sur N
˜
G ( ˜
G ab (F )) ;
(3) ˜
μ x (g 0 γ 0 ) = μ x (g 0 )˜ μ x (γ 0 ) pour tous g 0 ∈ G 0,ab (F ) et tout γ 0 ∈ ˜
G 0,ab (F ).
Pour γ 0 ∈ ˜
G 0,ab (F ), la somme
|Z( ˆ
G) ∗ /(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
G)
ΓF
|
−1
x∈Z( ˆ
G)∗/(Z( ˆ
G)∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )Z( ˆ
G) Γ F
˜
μ x (γ 0 )
vaut 1 si γ 0 ∈ N
˜
G ( ˜
G ab (F )), 0 sinon.
I.1.14 Image de la correspondance
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Rappelons que G
est dit elliptique si et seulement si Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 = Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 .