I.1. Les définitions de base
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tion (7) est l’identité. Donc l’application N
˜
G0, ˜
G est bijective, ce qui nous permet
d’identifier H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)) à ˜
G 0,ab (F ).
Revenons à notre donnée G
. On a construit des applications
(11)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˜
G(F )
/ / ˜
G ab (F ) N
˜
G + +
V
V
V
V
V
˜
G 0,ab (F )
˜
G
(F )
/ / ˜
G
ab (F ) N
˜
G , ˜
G
3 3
h
h
h
h
h
Les termes extrêmes sont des espaces principaux homogènes sous respectivement
G ab (F ), G
ab (F ) et G 0,ab (F ). Il est clair qu’il y a des homomorphismes similaires
G ab (F )
N
G
→ G 0,ab (F )
N
G ,G
← G
ab (F )
compatibles avec les applications ci-dessus.
Supposons un instant que F = R. On a introduit en 1.11 un K-espace K ˜
G.
On définit K ˜
G ab (R) comme la réunion disjointe des ˜
G p,ab (R) pour p ∈ Π et on
obtient un diagramme similaire au précédent où ˜
G(R) et ˜
G ab (R) sont remplacés
par K ˜
G(R) et K ˜
G ab (R).
I.1.13 Caractères de G(F ), G 0,ab (F ), G 0,ab (F )/N
G
(G ab (F ))
Comme on l’a dit dans le paragraphe précédent, on a l’égalité
G ab (F ) = H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) → Z(G)).
Fixons un tore maximal T de G défini sur F . On introduit le tore dual ˆ
T muni de
l’action galoisienne duale de celle de T . L’homomorphisme naturel
H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) → Z(G)) → H
1,0 (Γ F ; T sc → T )
est bijectif. D’après [48] lemme A.3.B, le groupe de caractères continus du dernier
groupe est le quotient de H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad ) par l’image naturelle de ˆ
T
ΓF ,0
ad . On
vérifie que cette image est nulle et que l’homomorphisme naturel
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) → H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad )
est bijectif. On en déduit que le groupe des caractères continus de G ab (F ) est
isomorphe à H
1 (W F ; Z( ˆ
G)).
Cela nous permet de préciser la correspondance qui, à a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G)),
associe le caractère ω de G(F ). On a un homomorphisme
G(F ) → G ab (F ) = H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) → Z(G)).
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tion (7) est l’identité. Donc l’application N
˜
G0, ˜
G est bijective, ce qui nous permet
d’identifier H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)) à ˜
G 0,ab (F ).
Revenons à notre donnée G
. On a construit des applications
(11)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˜
G(F )
/ / ˜
G ab (F ) N
˜
G + +
V
V
V
V
V
˜
G 0,ab (F )
˜
G
(F )
/ / ˜
G
ab (F ) N
˜
G , ˜
G
3 3
h
h
h
h
h
Les termes extrêmes sont des espaces principaux homogènes sous respectivement
G ab (F ), G
ab (F ) et G 0,ab (F ). Il est clair qu’il y a des homomorphismes similaires
G ab (F )
N
G
→ G 0,ab (F )
N
G ,G
← G
ab (F )
compatibles avec les applications ci-dessus.
Supposons un instant que F = R. On a introduit en 1.11 un K-espace K ˜
G.
On définit K ˜
G ab (R) comme la réunion disjointe des ˜
G p,ab (R) pour p ∈ Π et on
obtient un diagramme similaire au précédent où ˜
G(R) et ˜
G ab (R) sont remplacés
par K ˜
G(R) et K ˜
G ab (R).
I.1.13 Caractères de G(F ), G 0,ab (F ), G 0,ab (F )/N
G
(G ab (F ))
Comme on l’a dit dans le paragraphe précédent, on a l’égalité
G ab (F ) = H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) → Z(G)).
Fixons un tore maximal T de G défini sur F . On introduit le tore dual ˆ
T muni de
l’action galoisienne duale de celle de T . L’homomorphisme naturel
H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) → Z(G)) → H
1,0 (Γ F ; T sc → T )
est bijectif. D’après [48] lemme A.3.B, le groupe de caractères continus du dernier
groupe est le quotient de H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad ) par l’image naturelle de ˆ
T
ΓF ,0
ad . On
vérifie que cette image est nulle et que l’homomorphisme naturel
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) → H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T ad )
est bijectif. On en déduit que le groupe des caractères continus de G ab (F ) est
isomorphe à H
1 (W F ; Z( ˆ
G)).
Cela nous permet de préciser la correspondance qui, à a ∈ H
1 (W F ; Z( ˆ
G)),
associe le caractère ω de G(F ). On a un homomorphisme
G(F ) → G ab (F ) = H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) → Z(G)).