22
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Le tore T
∗ est engendré par Z(G) et par l’image de T
∗
sc et (9) en résulte.
Soit x ∈ Z(G
sc ) tel que π
(x) appartient à l’image de ξ 0 . Choisissons un élément
t sc ∈ T
∗
sc dont x soit l’image dans T
∗
sc /(1 − θ
∗ )(T
∗
sc ). L’hypothèse signifie que
π(t sc ) ∈ Z(G)(1−θ
∗ )(T
∗ ). Ecrivons π(t sc ) = z(1−θ
∗ )(t), avec z ∈ Z(G) et t ∈ T
∗ .
Ecrivons t = z
π(t
sc ), avec z
∈ Z(G) et t
sc ∈ T
∗
sc . Alors π(t sc (θ
∗
− 1)(t
sc )) =
z(1 − θ
∗ )(z
). Cela entraîne que t sc (θ
∗
− 1)(t
sc ) appartient à Z(G SC ). Puisque
t sc (θ
∗
− 1)(t
sc ) a aussi pour image x dans T
∗
sc /(1 − θ
∗ )(T
∗
sc ), cela montre que x
appartient à l’image de Z(G SC ), qui n’est autre que celle de l’application ξ 0,sc .
Cela prouve (10).
Soit (ζ
, e
) ∈ Z
1,0 (Γ F ; Z(G
sc ) Z( ˜
G
)). La relation (9) entraîne que l’on
peut écrire e
= ˜
ξ 0 (e)π
(z
sc ), avec z
sc ∈ Z(G
sc ) et e ∈ Z 0 ( ˜
G). Alors (ζ
, e
) est
cohomologue à (ζ
1 , ˜
ξ 0 (e)), où ζ
1 (σ) = z
sc ζ
(σ)σ(z
sc )
−1 . La relation σ ◦ ˜
ξ 0 (e) =
˜
ξ 0 (e)π
(ζ
1 (σ)) entraîne que π
◦ ζ
1 prend ses valeurs dans l’image de ξ 0 . D’après
(10), on peut écrire ζ
1 = ξ 0,sc (ζ), où ζ est à valeurs dans Z 0 (G SC ). Puisque ξ 0,sc
et ˜
ξ 0 sont injectifs, le couple (ζ, e) vérifie les conditions requises pour appartenir
à Z
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)). La classe de cohomologie de (ζ
, e
) est l’image
par l’application (8) de celle de (ζ, e). Cela prouve la surjectivité de (8). Inversement, soient (ζ 1 , e 1 ) et (ζ 2 , e 2 ) deux éléments de Z
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)) qui
ont même image dans H
1,0 (Γ F ; Z(G
sc ) Z( ˜
G
)). Il existe z
sc ∈ Z(G
sc ) tel que
ξ 0,sc (ζ 1 (σ)) = ξ 0,sc (ζ 2 (σ))(z
sc )
−1 σ(z
sc ) et ˜
ξ 0 (e 1 ) = ˜
ξ 0 (e 2 )π
(z
sc ). Cette deuxième
relation entraîne que π
(z
sc ) appartient à l’image de ξ 0 . D’après (10), il existe
z sc ∈ Z 0 (G SC ) tel que z
sc = ξ 0,sc (z sc ). D’après l’injectivité de ξ 0,sc et ˜
ξ 0 , on a
alors ζ 1 (σ) = ζ 2 (σ)(z sc )
−1 σ(z sc ) et e 1 = e 2 π(z sc ). Donc les couples (ζ 1 , e 1 ) et
(ζ 2 , e 2 ) sont cohomologues, ce qui prouve l’injectivité de (8).
L’ensemble de départ de (8) n’est autre que ˜
G
ab (F ), puisque ˜
G
est à torsion
intérieure. Par composition de (7) et de l’inverse de (8), on obtient une application
que nous notons
N
˜
G
, ˜
G : ˜
G
ab (F ) → H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)).
Remarque. On note aussi N
˜
G
, ˜
G la composée de cette application avec l’application ˜
G
(F ) → ˜
G
ab (F ).
Il est plus parlant d’identifier l’ensemble d’arrivée de cette application. Introduisons le groupe G 0 quasi-déployé sur F dual du groupe ˆ
G 0 = ˆ
G
ˆ
θ,0 , muni de
l’action galoisienne provenant de celle sur ˆ
G. Notons G
0 le sous-groupe ˆ
G 0 W F
de
L G. Le cocycle a ne joue ici aucun rôle. On peut remplacer a par le caractère trivial 1. Alors le triplet G 0 = (G 0 , G
0 , ˆ
θ) est une donnée endoscopique pour
(G, ˜
G, 1) à laquelle on applique les constructions ci-dessus. Pour cette donnée,
on a Z( ˆ
G 0 ) = Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 . Cela résulte du fait que les racines simples pour la
paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
G 0 , ˆ
T ∩ ˆ
G 0 = ˆ
T
ˆ
θ,0 ) de ˆ
G 0 sont exactement les restrictions à
ˆ
T
ˆ
θ,0 des racines simples pour la paire de Borel ( ˆ
B, ˆ
T ) de ˆ
G, cf. 1.6. Il en résulte
que ˆ
G 0,ad = ˆ
G 0,AD , puis G 0,sc = G 0,SC . Donc, pour cette donnée G 0 , l’applica-
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Le tore T
∗ est engendré par Z(G) et par l’image de T
∗
sc et (9) en résulte.
Soit x ∈ Z(G
sc ) tel que π
(x) appartient à l’image de ξ 0 . Choisissons un élément
t sc ∈ T
∗
sc dont x soit l’image dans T
∗
sc /(1 − θ
∗ )(T
∗
sc ). L’hypothèse signifie que
π(t sc ) ∈ Z(G)(1−θ
∗ )(T
∗ ). Ecrivons π(t sc ) = z(1−θ
∗ )(t), avec z ∈ Z(G) et t ∈ T
∗ .
Ecrivons t = z
π(t
sc ), avec z
∈ Z(G) et t
sc ∈ T
∗
sc . Alors π(t sc (θ
∗
− 1)(t
sc )) =
z(1 − θ
∗ )(z
). Cela entraîne que t sc (θ
∗
− 1)(t
sc ) appartient à Z(G SC ). Puisque
t sc (θ
∗
− 1)(t
sc ) a aussi pour image x dans T
∗
sc /(1 − θ
∗ )(T
∗
sc ), cela montre que x
appartient à l’image de Z(G SC ), qui n’est autre que celle de l’application ξ 0,sc .
Cela prouve (10).
Soit (ζ
, e
) ∈ Z
1,0 (Γ F ; Z(G
sc ) Z( ˜
G
)). La relation (9) entraîne que l’on
peut écrire e
= ˜
ξ 0 (e)π
(z
sc ), avec z
sc ∈ Z(G
sc ) et e ∈ Z 0 ( ˜
G). Alors (ζ
, e
) est
cohomologue à (ζ
1 , ˜
ξ 0 (e)), où ζ
1 (σ) = z
sc ζ
(σ)σ(z
sc )
−1 . La relation σ ◦ ˜
ξ 0 (e) =
˜
ξ 0 (e)π
(ζ
1 (σ)) entraîne que π
◦ ζ
1 prend ses valeurs dans l’image de ξ 0 . D’après
(10), on peut écrire ζ
1 = ξ 0,sc (ζ), où ζ est à valeurs dans Z 0 (G SC ). Puisque ξ 0,sc
et ˜
ξ 0 sont injectifs, le couple (ζ, e) vérifie les conditions requises pour appartenir
à Z
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)). La classe de cohomologie de (ζ
, e
) est l’image
par l’application (8) de celle de (ζ, e). Cela prouve la surjectivité de (8). Inversement, soient (ζ 1 , e 1 ) et (ζ 2 , e 2 ) deux éléments de Z
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)) qui
ont même image dans H
1,0 (Γ F ; Z(G
sc ) Z( ˜
G
)). Il existe z
sc ∈ Z(G
sc ) tel que
ξ 0,sc (ζ 1 (σ)) = ξ 0,sc (ζ 2 (σ))(z
sc )
−1 σ(z
sc ) et ˜
ξ 0 (e 1 ) = ˜
ξ 0 (e 2 )π
(z
sc ). Cette deuxième
relation entraîne que π
(z
sc ) appartient à l’image de ξ 0 . D’après (10), il existe
z sc ∈ Z 0 (G SC ) tel que z
sc = ξ 0,sc (z sc ). D’après l’injectivité de ξ 0,sc et ˜
ξ 0 , on a
alors ζ 1 (σ) = ζ 2 (σ)(z sc )
−1 σ(z sc ) et e 1 = e 2 π(z sc ). Donc les couples (ζ 1 , e 1 ) et
(ζ 2 , e 2 ) sont cohomologues, ce qui prouve l’injectivité de (8).
L’ensemble de départ de (8) n’est autre que ˜
G
ab (F ), puisque ˜
G
est à torsion
intérieure. Par composition de (7) et de l’inverse de (8), on obtient une application
que nous notons
N
˜
G
, ˜
G : ˜
G
ab (F ) → H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)).
Remarque. On note aussi N
˜
G
, ˜
G la composée de cette application avec l’application ˜
G
(F ) → ˜
G
ab (F ).
Il est plus parlant d’identifier l’ensemble d’arrivée de cette application. Introduisons le groupe G 0 quasi-déployé sur F dual du groupe ˆ
G 0 = ˆ
G
ˆ
θ,0 , muni de
l’action galoisienne provenant de celle sur ˆ
G. Notons G
0 le sous-groupe ˆ
G 0 W F
de
L G. Le cocycle a ne joue ici aucun rôle. On peut remplacer a par le caractère trivial 1. Alors le triplet G 0 = (G 0 , G
0 , ˆ
θ) est une donnée endoscopique pour
(G, ˜
G, 1) à laquelle on applique les constructions ci-dessus. Pour cette donnée,
on a Z( ˆ
G 0 ) = Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 . Cela résulte du fait que les racines simples pour la
paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
G 0 , ˆ
T ∩ ˆ
G 0 = ˆ
T
ˆ
θ,0 ) de ˆ
G 0 sont exactement les restrictions à
ˆ
T
ˆ
θ,0 des racines simples pour la paire de Borel ( ˆ
B, ˆ
T ) de ˆ
G, cf. 1.6. Il en résulte
que ˆ
G 0,ad = ˆ
G 0,AD , puis G 0,sc = G 0,SC . Donc, pour cette donnée G 0 , l’applica-