I.1. Les définitions de base
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le même sens qu’en 1.7. L’application (2) se pousse en une application que nous
notons
N
˜
G : ˜
G ab (F ) → H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)).
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a). Rappelons que
l’on a un homomorphisme Z(G) → Z(G
). Il se factorise en une suite
Z(G) → Z 0 (G)
ξ0
→ Z(G
)
et ξ 0 est injectif. On a de même une suite
Z( ˜
G) → Z 0 ( ˜
G)
˜
ξ0
→ Z( ˜
G
),
et ˜
ξ 0 est injectif. On a une suite d’extensions
ˆ
G
→ ˆ
G
ad = ˆ
G
/( ˆ
G
∩ Z( ˆ
G)) → ˆ
G
AD = ˆ
G
/Z( ˆ
G
),
dont on déduit une suite duale
G
← G
sc ← G
SC .
Il y a donc une application naturelle
(7)
H
1,0 (Γ F ; Z(G
SC ) Z( ˜
G
)) → H
1,0 (Γ F ; Z(G
sc ) Z( ˜
G
)).
Un tore maximal de ˆ
G
ad est naturellement isomorphe à ˆ
T
ˆ
θ,0 /(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ), qui
n’est autre que ˆ
T
ˆ
θ
ad , où ˆ
T ad est l’image de ˆ
T dans ˆ
G AD (on rappelle que ˆ
T
ˆ
θ
ad est
connexe). Dualement, un tore maximal de G
sc est donc isomorphe à T
∗
sc /(1 −
θ
∗ )(T
∗
sc ). On en déduit une suite analogue à celle ci-dessus :
Z(G SC ) → Z 0 (G SC )
ξ0,sc
→ Z(G
sc ),
où ξ 0,sc est injectif. D’où une application naturelle
(8)
H
1,0 (Γ F ; Z 0 (G SC ) Z 0 ( ˜
G)) → H
1,0 (Γ F ; Z(G
sc ) Z( ˜
G
)).
Montrons qu’elle est bijective. Considérons le diagramme
Z 0 (G SC )
/ /
ξ0,sc
Z 0 (G)
ξ0
Z(G
sc )
π
/ / Z(G
) .
Alors
(9) Z(G
) est engendré par les images de π
et de ξ 0 ;
(10) l’image réciproque par π
de l’image de ξ 0 est l’image de ξ 0,sc .