20
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Notons z → ¯
z les applications naturelles de Z(G SC ) dans Z(G SC ) ou de
Z( ˜
G, E) dans Z( ˜
G). La relation (4) entraîne que ¯
ν est un cocycle. La relation (3)
et la définition de l’action galoisienne sur Z( ˜
G) entraînent que σ(¯ e) = ¯
eπ(¯ ν(σ)).
Donc (¯ ν, ¯
e) appartient à Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)). Montrons que
(6) la classe de cohomologie de (¯ ν, ¯
e) ne dépend pas des choix effectués et ne
dépend que de la classe de cohomologie de (μ, γ).
On a choisi E, u E , x et e. L’indépendance de u E est claire : on ne peut
modifier u E (σ) que par un élément de Z(G SC ), ce qui ne change pas l’image ¯
ν(σ)
dans Z(G SC ). Supposons d’abord E et (μ, γ) fixés. On ne peut modifier x et e
qu’en remplaçant x par z
−1 x et e par eπ(z) pour un élément z ∈ Z(G SC ). On
voit que cela remplace ¯
ν(σ) par ¯
ν 1 (σ) = ¯
z
−1 ¯
ν(σ)σ(¯ z) et ¯
e par ¯
e 1 = ¯
e¯ z. Or (¯ ν 1 , ¯
e 1 )
est cohomologue à (¯ ν, ¯
e). Supposons maintenant E fixé et remplaçons (μ, γ) par
(μ 1 , γ 1 ) cohomologue à (μ, γ). Soit v ∈ G SC tel que μ 1 (σ) = v
−1 μ(σ)σ(v) et
γ 1 = γv. Pour le couple (μ 1 , γ 1 ), on peut choisir e 1 = e et x 1 = xv. Alors μ
1 = μ
et le couple (¯ ν, ¯
e) ne change pas. Il reste à remplacer E par une autre paire de Borel
épinglée E 1 , (μ, γ) étant fixé. On fixe r ∈ G SC tel que ad r (E) = E 1 . On peut choisir
u E1 (σ) = ru E (σ)σ(r)
−1 , e 1 = ad r (e) = eπ(s), où s = ad
−1
e (r)r
−1 , et x 1 = s
−1 x.
On a ¯
e 1 = ¯
e par définition de l’ensemble Z( ˜
G). On a μ
1 (σ) = s
−1 μ
(σ)σ(s), puis
ν 1 (σ) = ad
−1
e1 (u E1 (σ))μ
1 (σ)u E1 (σ)
−1
= ad r ◦ ad
−1
e ◦ ad
−1
r (ru E (σ)σ(r)
−1 )s
−1 μ
(σ)σ(s)σ(r)u E (σ)
−1 r
−1
= r ad
−1
e (u E (σ)σ(r)
−1 )μ
(σ)σ(ad
−1
e (r))u E (σ)
−1 r
−1 = raν(σ)br
−1 ,
où a = ad
−1
e (u E (σ)σ(r)
−1 u E (σ)
−1 ) et b = u E (σ)σ(ad
−1
e (r))u E (σ)
−1 . Puisqu’on
sait que ν 1 (σ) est central, on peut aussi bien conjuguer par ra et on obtient ν 1 (σ) =
ν(σ)ba. Introduisons l’action σ → σ G ∗ de Γ F sur G définie par σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ G .
Le fait que ad uE (σ) (σ(e)) ∈ Z(G)e entraîne que ad e commute à cette action. Or
a = ad
−1
e ◦σ G ∗ (r)
−1 et b = σ G ∗ ◦ ad
−1
e (r). Donc a = b
−1 et ν 1 (σ) = ν(σ). Cela
prouve (6).
D’après (6), on a défini l’application cherchée
˜
G ab (F ) → H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)).
Il est facile de voir comme en (1) que l’ensemble d’arrivée est un espace principal
homogène sous H
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)).
Cas particulier. Dans le cas où ˜
G est à torsion intérieure, ce dernier ensemble
n’est autre que G ab (F ). La flèche (2) étant bien sûr équivariante pour les actions
de G ab (F ) et les ensembles de départ et d’arrivée étant tous deux des espaces
principaux homogènes sous ce groupe, la flèche est bijective.
Le groupe Z(G) est naturellement un sous-groupe de T
∗ .
On pose Z 0 (G) = Z(G)/(Z(G) ∩ (1 − θ
∗ )(T
∗ )). Il y a un homomorphisme
surjectif Z(G) → Z 0 (G). On pose Z 0 ( ˜
G) = Z 0 (G) × Z(G) Z( ˜
G), la notation ayant
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Notons z → ¯
z les applications naturelles de Z(G SC ) dans Z(G SC ) ou de
Z( ˜
G, E) dans Z( ˜
G). La relation (4) entraîne que ¯
ν est un cocycle. La relation (3)
et la définition de l’action galoisienne sur Z( ˜
G) entraînent que σ(¯ e) = ¯
eπ(¯ ν(σ)).
Donc (¯ ν, ¯
e) appartient à Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)). Montrons que
(6) la classe de cohomologie de (¯ ν, ¯
e) ne dépend pas des choix effectués et ne
dépend que de la classe de cohomologie de (μ, γ).
On a choisi E, u E , x et e. L’indépendance de u E est claire : on ne peut
modifier u E (σ) que par un élément de Z(G SC ), ce qui ne change pas l’image ¯
ν(σ)
dans Z(G SC ). Supposons d’abord E et (μ, γ) fixés. On ne peut modifier x et e
qu’en remplaçant x par z
−1 x et e par eπ(z) pour un élément z ∈ Z(G SC ). On
voit que cela remplace ¯
ν(σ) par ¯
ν 1 (σ) = ¯
z
−1 ¯
ν(σ)σ(¯ z) et ¯
e par ¯
e 1 = ¯
e¯ z. Or (¯ ν 1 , ¯
e 1 )
est cohomologue à (¯ ν, ¯
e). Supposons maintenant E fixé et remplaçons (μ, γ) par
(μ 1 , γ 1 ) cohomologue à (μ, γ). Soit v ∈ G SC tel que μ 1 (σ) = v
−1 μ(σ)σ(v) et
γ 1 = γv. Pour le couple (μ 1 , γ 1 ), on peut choisir e 1 = e et x 1 = xv. Alors μ
1 = μ
et le couple (¯ ν, ¯
e) ne change pas. Il reste à remplacer E par une autre paire de Borel
épinglée E 1 , (μ, γ) étant fixé. On fixe r ∈ G SC tel que ad r (E) = E 1 . On peut choisir
u E1 (σ) = ru E (σ)σ(r)
−1 , e 1 = ad r (e) = eπ(s), où s = ad
−1
e (r)r
−1 , et x 1 = s
−1 x.
On a ¯
e 1 = ¯
e par définition de l’ensemble Z( ˜
G). On a μ
1 (σ) = s
−1 μ
(σ)σ(s), puis
ν 1 (σ) = ad
−1
e1 (u E1 (σ))μ
1 (σ)u E1 (σ)
−1
= ad r ◦ ad
−1
e ◦ ad
−1
r (ru E (σ)σ(r)
−1 )s
−1 μ
(σ)σ(s)σ(r)u E (σ)
−1 r
−1
= r ad
−1
e (u E (σ)σ(r)
−1 )μ
(σ)σ(ad
−1
e (r))u E (σ)
−1 r
−1 = raν(σ)br
−1 ,
où a = ad
−1
e (u E (σ)σ(r)
−1 u E (σ)
−1 ) et b = u E (σ)σ(ad
−1
e (r))u E (σ)
−1 . Puisqu’on
sait que ν 1 (σ) est central, on peut aussi bien conjuguer par ra et on obtient ν 1 (σ) =
ν(σ)ba. Introduisons l’action σ → σ G ∗ de Γ F sur G définie par σ G ∗ = ad uE (σ) ◦σ G .
Le fait que ad uE (σ) (σ(e)) ∈ Z(G)e entraîne que ad e commute à cette action. Or
a = ad
−1
e ◦σ G ∗ (r)
−1 et b = σ G ∗ ◦ ad
−1
e (r). Donc a = b
−1 et ν 1 (σ) = ν(σ). Cela
prouve (6).
D’après (6), on a défini l’application cherchée
˜
G ab (F ) → H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)).
Il est facile de voir comme en (1) que l’ensemble d’arrivée est un espace principal
homogène sous H
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)).
Cas particulier. Dans le cas où ˜
G est à torsion intérieure, ce dernier ensemble
n’est autre que G ab (F ). La flèche (2) étant bien sûr équivariante pour les actions
de G ab (F ) et les ensembles de départ et d’arrivée étant tous deux des espaces
principaux homogènes sous ce groupe, la flèche est bijective.
Le groupe Z(G) est naturellement un sous-groupe de T
∗ .
On pose Z 0 (G) = Z(G)/(Z(G) ∩ (1 − θ
∗ )(T
∗ )). Il y a un homomorphisme
surjectif Z(G) → Z 0 (G). On pose Z 0 ( ˜
G) = Z 0 (G) × Z(G) Z( ˜
G), la notation ayant