I.1. Les définitions de base
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Remarquons que l’on pourrait aussi bien définir une action à gauche de
G ab (F ) sur ˜
G ab (F ), jouissant des mêmes propriétés.
Il y a une application naturelle ˜
G(F ) → ˜
G ab (F ) : à γ ∈ ˜
G(F ), on associe
l’image dans ˜
G ab (F ) de (μ = 1, γ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G).
On va définir une application
(2)
˜
G ab (F ) → H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)).
Soit (μ, γ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G). Fixons une paire de Borel épinglée E
et une cochaîne u E comme en 1.2. On peut choisir, et on choisit, x ∈ G SC et
e ∈ Z( ˜
G, E) tels que γ = eπ(x). Posons μ
(σ) = xμ(σ)σ(x)
−1 , puis ν(σ) =
ad
−1
e (u E (σ))μ
(σ)u E (σ)
−1 . L’égalité σ(γ) = γπ(μ(σ)) entraîne σ(e) = eπ(μ
(σ)),
puis
(3) ad uE (σ) (σ(e)) = eπ(ν(σ)).
Or ad uE (σ) ◦σ conserve E, donc aussi Z( ˜
G, E) = eZ(G). Donc ad uE (σ) (σ(e)) ∈
eZ(G) et l’égalité (3) implique que ν(σ) appartient à Z(G SC ). Rappelons que le
cobord du E prend ses valeurs dans Z(G SC ). Montrons que
(4) dν = (θ
−1
− 1)(du E ).
Pour cela, définissons un espace tordu ˜
G sur le groupe G SC de la façon
suivante. Il est égal à e G SC , où e est un point fixé. L’action de G SC à droite
est l’action naturelle, celle à gauche est définie par ge = e ad
−1
e (g). La structure
galoisienne est (σ, e g) → e μ
(σ)σ(g). On vérifie que cette définition est loisible.
On a la relation analogue à (3) :
(5)
ad uE (σ) (σ(e )) = e ν(σ).
Soient σ 1 , σ 2 ∈ Γ F . En remplaçant dans (5) σ par σ 1 et en multipliant à droite
l’égalité obtenue par σ 1 (ν(σ 2 )), on obtient
ad uE (σ1) (σ 1 (e ν(σ 2 ))) = e ν(σ 1 )σ 1 (ν(σ 2 )),
puisque ν(σ 2 ) est central. On remplace le terme e ν(σ 2 ) du membre de gauche par
sa valeur donnée par (5) et on obtient
ad uE (σ1)σ1(uE (σ2)) (σ 1 σ 2 (e )) = e ν(σ 1 )σ 1 (ν(σ 2 )),
ou encore
ad duE (σ1,σ2)uE (σ1σ2) (σ 1 σ 2 (e )) = e ν(σ 1 , σ 2 )dν(σ 1 , σ 2 ).
On exprime le membre de gauche grâce à l’égalité (5) pour σ = σ 1 σ 2 . On obtient
ad duE (σ1,σ2) (e ν(σ 1 σ 2 )) = e ν(σ 1 , σ 2 )dν(σ 1 , σ 2 ).
Cela entraîne la relation (4).
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Remarquons que l’on pourrait aussi bien définir une action à gauche de
G ab (F ) sur ˜
G ab (F ), jouissant des mêmes propriétés.
Il y a une application naturelle ˜
G(F ) → ˜
G ab (F ) : à γ ∈ ˜
G(F ), on associe
l’image dans ˜
G ab (F ) de (μ = 1, γ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G).
On va définir une application
(2)
˜
G ab (F ) → H
1,0 (Γ F ; Z(G SC ) Z( ˜
G)).
Soit (μ, γ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G). Fixons une paire de Borel épinglée E
et une cochaîne u E comme en 1.2. On peut choisir, et on choisit, x ∈ G SC et
e ∈ Z( ˜
G, E) tels que γ = eπ(x). Posons μ
(σ) = xμ(σ)σ(x)
−1 , puis ν(σ) =
ad
−1
e (u E (σ))μ
(σ)u E (σ)
−1 . L’égalité σ(γ) = γπ(μ(σ)) entraîne σ(e) = eπ(μ
(σ)),
puis
(3) ad uE (σ) (σ(e)) = eπ(ν(σ)).
Or ad uE (σ) ◦σ conserve E, donc aussi Z( ˜
G, E) = eZ(G). Donc ad uE (σ) (σ(e)) ∈
eZ(G) et l’égalité (3) implique que ν(σ) appartient à Z(G SC ). Rappelons que le
cobord du E prend ses valeurs dans Z(G SC ). Montrons que
(4) dν = (θ
−1
− 1)(du E ).
Pour cela, définissons un espace tordu ˜
G sur le groupe G SC de la façon
suivante. Il est égal à e G SC , où e est un point fixé. L’action de G SC à droite
est l’action naturelle, celle à gauche est définie par ge = e ad
−1
e (g). La structure
galoisienne est (σ, e g) → e μ
(σ)σ(g). On vérifie que cette définition est loisible.
On a la relation analogue à (3) :
(5)
ad uE (σ) (σ(e )) = e ν(σ).
Soient σ 1 , σ 2 ∈ Γ F . En remplaçant dans (5) σ par σ 1 et en multipliant à droite
l’égalité obtenue par σ 1 (ν(σ 2 )), on obtient
ad uE (σ1) (σ 1 (e ν(σ 2 ))) = e ν(σ 1 )σ 1 (ν(σ 2 )),
puisque ν(σ 2 ) est central. On remplace le terme e ν(σ 2 ) du membre de gauche par
sa valeur donnée par (5) et on obtient
ad uE (σ1)σ1(uE (σ2)) (σ 1 σ 2 (e )) = e ν(σ 1 )σ 1 (ν(σ 2 )),
ou encore
ad duE (σ1,σ2)uE (σ1σ2) (σ 1 σ 2 (e )) = e ν(σ 1 , σ 2 )dν(σ 1 , σ 2 ).
On exprime le membre de gauche grâce à l’égalité (5) pour σ = σ 1 σ 2 . On obtient
ad duE (σ1,σ2) (e ν(σ 1 σ 2 )) = e ν(σ 1 , σ 2 )dν(σ 1 , σ 2 ).
Cela entraîne la relation (4).