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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Remarque. Ces ensembles ont été définis par divers auteurs. Fâcheusement, les
uns les notent H
0 , les autres H
1 et les définitions varient par des signes. Nous
avons adopté la notation H
1,0 qui est lourde mais a l’avantage de mécontenter
tout le monde. Labesse utilise la notation H
0 et sa définition diffère de la nôtre
car il considère une action à gauche de A sur B. Kottwitz et Shelstad ne considèrent que des groupes abéliens et utilisent la notation H
1 . A cette différence de
notation près, notre définition est la même que la leur. Signalons que, sous certaines hypothèses topologiques supplémentaires, on peut définir comme ci-dessus
des ensembles H
1,0 (W F ; A
f
→ B), cf. [48] A.3.
Ainsi, on définit l’ensemble G ab (F ) = H
1,0 (Γ F ; G SC
π
→ G) (pour nous, G SC
agit à droite sur G), cf. [51] 1.6. L’application naturelle de H
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→
Z(G)) dans cet ensemble G ab (F ) est bijective, ce qui munit G ab (F ) d’une structure
de groupe. Il y a un homomorphisme naturel injectif
G(F )/π(G SC (F )) → G ab (F ),
qui est surjectif si F = R.
Ainsi, on définit l’ensemble H
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G), que l’on peut noter ˜
G ab (F ).
On a une application :
Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G) × Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)) → Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G)
((μ, γ), (ζ, z))
→
(μζ, γz).
Elle se quotiente en une action à droite du groupe G ab (F ) H
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→
Z(G)) sur ˜
G ab (F ). On a :
(1) ˜
G ab (F ) est un espace principal homogène sous G ab (F ).
Preuve. Soient (ζ, z), (ζ
, z
) deux éléments de Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)) et soit
(μ, γ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G). Supposons (μζ, γz) cohomologue à (μζ
, γz
). Alors
il existe x ∈ G SC tel que μ(σ)ζ
(σ) = x
−1 μ(σ)ζ(σ)σ(x) et γz
= γzπ(x). Cette
dernière relation implique que z
= zπ(x) et que x appartient à Z(G SC ). La
première relation implique alors que ζ
(σ) = x
−1 ζ(σ)σ(x), donc les couples (ζ, z)
et (ζ
, z
) sont cohomologues. Cela prouve que l’action de G ab (F ) sur ˜
G ab (F ) est
libre. Soient maintenant (μ, γ) et (μ
, γ
) deux éléments de Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G).
Soit g ∈ G l’élément tel que γ
= γg, écrivons g = π(x)z avec x ∈ G SC et
z ∈ Z. Le couple (μ
, γ
) est cohomologue à (μ
, γz), où μ
(σ) = xμ
(σ)σ(x)
−1 .
Posons ζ(σ) = μ(σ)
−1 μ
(σ). Les égalités σ(γ) = γπ(μ(σ)) et σ(γz) = γzπ(μ
(σ))
entraînent que σ(z) = zπ(ζ(σ)). Cela implique que ζ(σ) appartient à Z(G SC ).
Cette propriété et le fait que μ et μ
sont des cocycles implique que ζ est aussi un
cocycle. Alors (ζ, z) appartient à Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)). Le couple (μ
, γ
) est
cohomologue au produit de (μ, γ) et de (ζ, z). Cela prouve que l’action de G ab (F )
sur ˜
G ab (F ) est transitive.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Remarque. Ces ensembles ont été définis par divers auteurs. Fâcheusement, les
uns les notent H
0 , les autres H
1 et les définitions varient par des signes. Nous
avons adopté la notation H
1,0 qui est lourde mais a l’avantage de mécontenter
tout le monde. Labesse utilise la notation H
0 et sa définition diffère de la nôtre
car il considère une action à gauche de A sur B. Kottwitz et Shelstad ne considèrent que des groupes abéliens et utilisent la notation H
1 . A cette différence de
notation près, notre définition est la même que la leur. Signalons que, sous certaines hypothèses topologiques supplémentaires, on peut définir comme ci-dessus
des ensembles H
1,0 (W F ; A
f
→ B), cf. [48] A.3.
Ainsi, on définit l’ensemble G ab (F ) = H
1,0 (Γ F ; G SC
π
→ G) (pour nous, G SC
agit à droite sur G), cf. [51] 1.6. L’application naturelle de H
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→
Z(G)) dans cet ensemble G ab (F ) est bijective, ce qui munit G ab (F ) d’une structure
de groupe. Il y a un homomorphisme naturel injectif
G(F )/π(G SC (F )) → G ab (F ),
qui est surjectif si F = R.
Ainsi, on définit l’ensemble H
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G), que l’on peut noter ˜
G ab (F ).
On a une application :
Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G) × Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)) → Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G)
((μ, γ), (ζ, z))
→
(μζ, γz).
Elle se quotiente en une action à droite du groupe G ab (F ) H
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→
Z(G)) sur ˜
G ab (F ). On a :
(1) ˜
G ab (F ) est un espace principal homogène sous G ab (F ).
Preuve. Soient (ζ, z), (ζ
, z
) deux éléments de Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)) et soit
(μ, γ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G). Supposons (μζ, γz) cohomologue à (μζ
, γz
). Alors
il existe x ∈ G SC tel que μ(σ)ζ
(σ) = x
−1 μ(σ)ζ(σ)σ(x) et γz
= γzπ(x). Cette
dernière relation implique que z
= zπ(x) et que x appartient à Z(G SC ). La
première relation implique alors que ζ
(σ) = x
−1 ζ(σ)σ(x), donc les couples (ζ, z)
et (ζ
, z
) sont cohomologues. Cela prouve que l’action de G ab (F ) sur ˜
G ab (F ) est
libre. Soient maintenant (μ, γ) et (μ
, γ
) deux éléments de Z
1,0 (Γ F ; G SC ˜
G).
Soit g ∈ G l’élément tel que γ
= γg, écrivons g = π(x)z avec x ∈ G SC et
z ∈ Z. Le couple (μ
, γ
) est cohomologue à (μ
, γz), où μ
(σ) = xμ
(σ)σ(x)
−1 .
Posons ζ(σ) = μ(σ)
−1 μ
(σ). Les égalités σ(γ) = γπ(μ(σ)) et σ(γz) = γzπ(μ
(σ))
entraînent que σ(z) = zπ(ζ(σ)). Cela implique que ζ(σ) appartient à Z(G SC ).
Cette propriété et le fait que μ et μ
sont des cocycles implique que ζ est aussi un
cocycle. Alors (ζ, z) appartient à Z
1,0 (Γ F ; Z(G SC )
π
→ Z(G)). Le couple (μ
, γ
) est
cohomologue au produit de (μ, γ) et de (ζ, z). Cela prouve que l’action de G ab (F )
sur ˜
G ab (F ) est transitive.