I.1. Les définitions de base
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pas l’espace endoscopique ˜
G
. On peut donc considérer G
comme une donnée
endoscopique pour (K ˜
G, a). Pour chaque p ∈ Π, notons plus précisément D ˜
Gp (G
)
l’ensemble défini en 1.8 quand on considère G
comme une donnée endoscopique
de ( ˜
G p , a). On pose D K ˜
G (G
) = p∈Π D ˜
Gp (G
).
Montrons qu’à partir d’un couple (G, ˜
G) vérifiant les conditions de 1.5, on
peut construire un K-espace comme ci-dessus. On fixe un ensemble Π de cocycles
p : Γ R → G SC qui s’envoie bijectivement sur π(H
1 (Γ R , G SC )) ∩ H
1 (Γ R , G)
θ . Pour
p ∈ Π, fixons un groupe G p et un espace tordu ˜
G p sous ce groupe, tous deux définis
sur R, munis d’isomorphismes compatibles φ p : G p → G et ˜
φ p : ˜
G p → ˜
G, définis
sur C, de sorte que, pour tout σ ∈ Γ R , on ait les égalités φ p ◦ σ(φ p )
−1 = ad p(σ)
et ˜
φ p ◦ σ( ˜
φ p )
−1 = ad p(σ) . De tels objets existent : il suffit de poser G p = G,
˜
G p = ˜
G, de prendre pour φ p et ˜
φ p les identités et de définir les actions galoisiennes
sur G p et ˜
G p par les égalités précédentes. Pour p, q ∈ Π et σ ∈ G R , on définit
φ p,q = φ
−1
p ◦ φ q et ∇ p,q (σ) = φ
−1
p (q(σ)p(σ)
−1 ). La vérification des propriétés
(1) à (5) est routinière. Indiquons simplement la preuve de (4), qui justifie la
condition d’invariance par θ imposée aux cocycles. Fixons γ ∈ ˜
G(R). L’image
de p dans H
1 (Γ R , G) est invariante par ad γ . On peut donc fixer g ∈ G tel que
ad γ (p(σ)) = g
−1 p(σ)σ(g) pour tout σ. Cela implique
σ(gγ) = σ(g)γ = p(σ)
−1 gγp(σ) = ad p(σ) −1 (gγ).
Posons γ p = φ
−1
p (gγ). Alors
σ(γ p ) = σ(φ p )
−1 (σ(gγ)) = σ(φ p )
−1
◦ ad p(σ) −1 (gγ) = φ
−1
p (gγ) = γ p .
Donc γ p ∈ ˜
G p (R).
Inversement, si on part de données comme ci-dessus et si on fixe un p 0 ∈ Π,
on peut identifier K ˜
G à un K-espace tordu défini comme on vient de le faire à
partir du couple (G, ˜
G) = (G p0 , ˜
G p0 ).
I.1.12 L’ensemble ˜
G ab (F )
Le corps F est de nouveau un corps local de caractéristique nulle. Soit A un groupe
et B un ensemble muni d’une action à droite de A. On suppose A et B munis
d’actions de Γ F compatibles à cette action. Notons Z
1,0 (Γ F ; A B) l’ensemble
des couples (α, b) où b ∈ B et α : Γ F → A est un cocycle tels que σ(b) = bα(σ)
pour tout σ ∈ Γ F . On introduit la relation d’équivalence (α, b) ≡ (α
, b
) si et
seulement s’il existe a ∈ A tel que α
(σ) = a
−1 α(σ)σ(a) et b
= ba. On note
H
1,0 (Γ F ; A B) le quotient de Z
1,0 (Γ F ; A B) par cette relation d’équivalence.
Il y a un cas particulier important de la construction précédente. Considérons
deux groupes A et B munis d’actions de Γ F et un homomorphisme de groupes
f : A → B équivariant pour cette action. On peut considérer que A agit sur B
par (a, b) → bf (a). On note alors H
1,0 (Γ F ; A
f
→ B) l’ensemble H
1,0 (Γ F ; A B)
précédent. Si A et B sont abéliens, c’est aussi un groupe abélien.
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pas l’espace endoscopique ˜
G
. On peut donc considérer G
comme une donnée
endoscopique pour (K ˜
G, a). Pour chaque p ∈ Π, notons plus précisément D ˜
Gp (G
)
l’ensemble défini en 1.8 quand on considère G
comme une donnée endoscopique
de ( ˜
G p , a). On pose D K ˜
G (G
) = p∈Π D ˜
Gp (G
).
Montrons qu’à partir d’un couple (G, ˜
G) vérifiant les conditions de 1.5, on
peut construire un K-espace comme ci-dessus. On fixe un ensemble Π de cocycles
p : Γ R → G SC qui s’envoie bijectivement sur π(H
1 (Γ R , G SC )) ∩ H
1 (Γ R , G)
θ . Pour
p ∈ Π, fixons un groupe G p et un espace tordu ˜
G p sous ce groupe, tous deux définis
sur R, munis d’isomorphismes compatibles φ p : G p → G et ˜
φ p : ˜
G p → ˜
G, définis
sur C, de sorte que, pour tout σ ∈ Γ R , on ait les égalités φ p ◦ σ(φ p )
−1 = ad p(σ)
et ˜
φ p ◦ σ( ˜
φ p )
−1 = ad p(σ) . De tels objets existent : il suffit de poser G p = G,
˜
G p = ˜
G, de prendre pour φ p et ˜
φ p les identités et de définir les actions galoisiennes
sur G p et ˜
G p par les égalités précédentes. Pour p, q ∈ Π et σ ∈ G R , on définit
φ p,q = φ
−1
p ◦ φ q et ∇ p,q (σ) = φ
−1
p (q(σ)p(σ)
−1 ). La vérification des propriétés
(1) à (5) est routinière. Indiquons simplement la preuve de (4), qui justifie la
condition d’invariance par θ imposée aux cocycles. Fixons γ ∈ ˜
G(R). L’image
de p dans H
1 (Γ R , G) est invariante par ad γ . On peut donc fixer g ∈ G tel que
ad γ (p(σ)) = g
−1 p(σ)σ(g) pour tout σ. Cela implique
σ(gγ) = σ(g)γ = p(σ)
−1 gγp(σ) = ad p(σ) −1 (gγ).
Posons γ p = φ
−1
p (gγ). Alors
σ(γ p ) = σ(φ p )
−1 (σ(gγ)) = σ(φ p )
−1
◦ ad p(σ) −1 (gγ) = φ
−1
p (gγ) = γ p .
Donc γ p ∈ ˜
G p (R).
Inversement, si on part de données comme ci-dessus et si on fixe un p 0 ∈ Π,
on peut identifier K ˜
G à un K-espace tordu défini comme on vient de le faire à
partir du couple (G, ˜
G) = (G p0 , ˜
G p0 ).
I.1.12 L’ensemble ˜
G ab (F )
Le corps F est de nouveau un corps local de caractéristique nulle. Soit A un groupe
et B un ensemble muni d’une action à droite de A. On suppose A et B munis
d’actions de Γ F compatibles à cette action. Notons Z
1,0 (Γ F ; A B) l’ensemble
des couples (α, b) où b ∈ B et α : Γ F → A est un cocycle tels que σ(b) = bα(σ)
pour tout σ ∈ Γ F . On introduit la relation d’équivalence (α, b) ≡ (α
, b
) si et
seulement s’il existe a ∈ A tel que α
(σ) = a
−1 α(σ)σ(a) et b
= ba. On note
H
1,0 (Γ F ; A B) le quotient de Z
1,0 (Γ F ; A B) par cette relation d’équivalence.
Il y a un cas particulier important de la construction précédente. Considérons
deux groupes A et B munis d’actions de Γ F et un homomorphisme de groupes
f : A → B équivariant pour cette action. On peut considérer que A agit sur B
par (a, b) → bf (a). On note alors H
1,0 (Γ F ; A
f
→ B) l’ensemble H
1,0 (Γ F ; A B)
précédent. Si A et B sont abéliens, c’est aussi un groupe abélien.