16
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
bancal. Intuitivement, les classes de conjugaison stable dans ˜
G(R) ne contiennent
pas assez de classes de conjugaison par G(R) pour que la correspondance soit
bijective. On récupère la bijectivité en considérant simultanément un ensemble
approprié de formes intérieures de G.
Supposons donc F = R. Considérons une famille finie (G p , ˜
G p ) p∈Π , où, pour
tout p, G p est un groupe réductif connexe sur R et ˜
G p est un espace tordu sur
G p . On suppose données des familles (φ p,q ) p,q∈Π , ( ˜
φ p,q ) p,q∈Π et (∇ p,q ) p,q∈Π . Pour
p, q ∈ Π, φ p,q : G q → G p et ˜
φ p,q : ˜
G q → ˜
G p sont des isomorphismes compatibles
définis sur C et ∇ p,q : Γ R → G p,SC est un cocycle. On suppose les hypothèses (1)
à (5) vérifiées pour tous p, q, r ∈ Π et σ ∈ Γ R :
(1) φ p,q ◦ σ(φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) et ˜
φ p,q ◦ σ( ˜
φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) (ce dernier automorphisme est l’action par conjugaison de ∇ p,q (σ) sur ˜
G p ) ;
(2) φ p,q ◦ φ q,r = φ p,r et ˜
φ p,q ◦ ˜
φ q,r = ˜
φ p,r ;
(3) ∇ p,r (σ) = φ p,q (∇ q,r (σ))∇ p,q (σ) ;
(4) ˜
G p (R) = ∅.
Pour x ∈ ˜
G p (R), ad x définit naturellement un automorphisme de H
1 (Γ R , G p )
qui ne dépend pas du choix de x. Conformément à nos conventions, on note cet
automorphisme θ. Alors
(5) la famille (∇ p,q ) q∈Π s’envoie bijectivement sur
π(H
1 (Γ R ; G p,SC )) ∩ H
1 (Γ R ; G p )
θ .
Dans une telle situation, on définit le K-groupe KG comme la réunion disjointe des G p pour p ∈ Π et le K-espace tordu K ˜
G comme la réunion disjointe
des ˜
G p . On introduit les sous-ensembles évidents K ˜
G ss et K ˜
G reg . Pour γ p ∈ ˜
G p
et γ q ∈ ˜
G q , on dit que γ p et γ q sont conjugués si ˜
φ p,q (γ q ) est conjugué à γ p dans
˜
G p .
Remarque. On adopte la terminologie K-groupe par commodité. Telle qu’on l’a
définie, cette notion n’est pas intrinsèque aux groupes puisque la condition (5)
dépend de l’espace tordu.
De φ p,q se déduit une bijection E q → φ p,q (E q ) entre paires de Borel épinglées
de G q et G p . Il s’en déduit une identification E
∗
q E
∗
p équivariante pour les actions
galoisiennes. Elle transporte l’automorphisme θ
∗
q sur θ
∗
p . On peut noter simplement
E
∗ et θ
∗ ces objets. On supposera comme en 1.5 que θ
∗ est d’ordre fini. Les groupes
G p ont un L-groupe
L G commun et un L-espace
L ˜
G commun. La donnée d’un
a ∈ H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) détermine des caractères ω p de chaque G p (R). L’application
˜
φ p,q se restreint en une bijection de Z( ˜
G q , E q ) sur Z( ˜
G p , φ p,q (E q )). Il s’en déduit
une bijection Z( ˜
G q ) Z( ˜
G p ) elle-aussi équivariante pour les actions galoisiennes.
Une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) pour ( ˜
G p , a) est aussi une donnée
endoscopique pour ( ˜
G q , a) pour tout q. Changer ( ˜
G p , a) en ( ˜
G q , a) ne change
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
bancal. Intuitivement, les classes de conjugaison stable dans ˜
G(R) ne contiennent
pas assez de classes de conjugaison par G(R) pour que la correspondance soit
bijective. On récupère la bijectivité en considérant simultanément un ensemble
approprié de formes intérieures de G.
Supposons donc F = R. Considérons une famille finie (G p , ˜
G p ) p∈Π , où, pour
tout p, G p est un groupe réductif connexe sur R et ˜
G p est un espace tordu sur
G p . On suppose données des familles (φ p,q ) p,q∈Π , ( ˜
φ p,q ) p,q∈Π et (∇ p,q ) p,q∈Π . Pour
p, q ∈ Π, φ p,q : G q → G p et ˜
φ p,q : ˜
G q → ˜
G p sont des isomorphismes compatibles
définis sur C et ∇ p,q : Γ R → G p,SC est un cocycle. On suppose les hypothèses (1)
à (5) vérifiées pour tous p, q, r ∈ Π et σ ∈ Γ R :
(1) φ p,q ◦ σ(φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) et ˜
φ p,q ◦ σ( ˜
φ p,q )
−1 = ad ∇p,q(σ) (ce dernier automorphisme est l’action par conjugaison de ∇ p,q (σ) sur ˜
G p ) ;
(2) φ p,q ◦ φ q,r = φ p,r et ˜
φ p,q ◦ ˜
φ q,r = ˜
φ p,r ;
(3) ∇ p,r (σ) = φ p,q (∇ q,r (σ))∇ p,q (σ) ;
(4) ˜
G p (R) = ∅.
Pour x ∈ ˜
G p (R), ad x définit naturellement un automorphisme de H
1 (Γ R , G p )
qui ne dépend pas du choix de x. Conformément à nos conventions, on note cet
automorphisme θ. Alors
(5) la famille (∇ p,q ) q∈Π s’envoie bijectivement sur
π(H
1 (Γ R ; G p,SC )) ∩ H
1 (Γ R ; G p )
θ .
Dans une telle situation, on définit le K-groupe KG comme la réunion disjointe des G p pour p ∈ Π et le K-espace tordu K ˜
G comme la réunion disjointe
des ˜
G p . On introduit les sous-ensembles évidents K ˜
G ss et K ˜
G reg . Pour γ p ∈ ˜
G p
et γ q ∈ ˜
G q , on dit que γ p et γ q sont conjugués si ˜
φ p,q (γ q ) est conjugué à γ p dans
˜
G p .
Remarque. On adopte la terminologie K-groupe par commodité. Telle qu’on l’a
définie, cette notion n’est pas intrinsèque aux groupes puisque la condition (5)
dépend de l’espace tordu.
De φ p,q se déduit une bijection E q → φ p,q (E q ) entre paires de Borel épinglées
de G q et G p . Il s’en déduit une identification E
∗
q E
∗
p équivariante pour les actions
galoisiennes. Elle transporte l’automorphisme θ
∗
q sur θ
∗
p . On peut noter simplement
E
∗ et θ
∗ ces objets. On supposera comme en 1.5 que θ
∗ est d’ordre fini. Les groupes
G p ont un L-groupe
L G commun et un L-espace
L ˜
G commun. La donnée d’un
a ∈ H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) détermine des caractères ω p de chaque G p (R). L’application
˜
φ p,q se restreint en une bijection de Z( ˜
G q , E q ) sur Z( ˜
G p , φ p,q (E q )). Il s’en déduit
une bijection Z( ˜
G q ) Z( ˜
G p ) elle-aussi équivariante pour les actions galoisiennes.
Une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) pour ( ˜
G p , a) est aussi une donnée
endoscopique pour ( ˜
G q , a) pour tout q. Changer ( ˜
G p , a) en ( ˜
G q , a) ne change