I.1. Les définitions de base
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d’où σ(t
) = z(σ)t
. Alors ξ T,T ◦ σ(t) = σ ◦ ξ T,T (t). Mais ce terme est aussi égal
à ξ T,T ◦ ω T ,T (σ) ◦ σ(t). D’où ω T ,T (σ) = 1 puisque γ est fortement régulier, cf.
1.3(5). Cela prouve (i).
(ii) Supposons que et η se correspondent. Fixons un diagramme
(, B
, T
, B, T, η).
Soit t ∈ T (F ), posons t
= ξ T,T (t). Alors (t
, B
, T
, B, T, tη) est encore un diagramme. Si t est en position générale, tη est fortement régulier. Donc (t
, tη) ∈
D(G
). On peut choisir t aussi proche de 1 que l’on veut. Donc (, η) appartient à
l’adhérence de D(G
). Inversement, supposons cette condition vérifiée. On fixe une
suite d’éléments (δ n , γ n ) ∈ D(G
), pour n ∈ N, qui tend vers (, η). Les résultats
usuels de la théorie de la descente valent dans le cas tordu. En notant par des
lettres gothiques les algèbres de Lie, on peut fixer un voisinage u η de 0 dans g η (F )
de sorte que tout point assez voisin de η soit conjugué par un élément de G(F )
à un élément exp(X)η où X ∈ u η . On peut fixer un voisinage similaire u de 0
dans g
(F ). Quitte à conjuguer nos éléments δ n et γ n et à supprimer un nombre
fini de termes de la suite, on peut donc écrire δ n = exp(Y n ), γ n = exp(X n )η.
Puisqu’il s’agit d’éléments semi-simples, les X n et Y n le sont aussi. Puisqu’il n’y a
qu’un nombre fini de classes de conjugaison par G η (F ) de sous-tores maximaux de
G η définis sur F (et de même pour G
), on peut, quitte à extraire une sous-suite,
fixer de tels sous-tores maximaux T
⊂ G η et T
⊂ G
et supposer X n ∈ t
(F ),
Y n ∈ t
(F ). D’après (i), on peut fixer des diagrammes (δ n , B
n , T
n , B n , T n , γ n ). Il
n’y a pas le choix pour les tores : on a nécessairement T
n = T
tandis que T n est
le commutant de T
dans G. Puisque ces tores n’appartiennent qu’à un nombre
fini de paires de Borel, on peut, quitte à extraire une sous-suite, fixer B contenant
T et B
contenant T
et supposer que B n = B et B
n = B
pour tout n. Puisque
γ n ∈ T (F )η et que ad γn conserve (B, T ), ad η conserve aussi cette paire. On écrit
η = te comme au début du paragraphe, avec t ∈ T . De même, on peut écrire
= t
e
, où e
est l’image de e dans Z( ˜
G
) et t
∈ T
. On a alors γ n = exp(X n )te,
δ n = exp(Y n )t
e
. D’après (6) appliqué au diagramme joignant δ n et γ n , on a
ξ T,T (exp(X n )t) = exp(Y n )t
. Quand n tend vers l’infini, X n et Y n tendent vers 0.
D’où ξ T,T (t) = t
. Mais alors (, B
, T
, B, T, η) est un diagramme. Cela achève la
preuve.
I.1.11 K-espaces
On suppose dans ce paragraphe F = R et on va introduire la notion de K-espace.
Expliquons la raison d’être de ces objets. Sur un corps de base F complexe ou nonarchimédien, le point de départ (du point de vue «géométrique») de la théorie de
l’endoscopie est que, si on se restreint aux points elliptiques de nos espaces, il y
a un isomorphisme entre les espaces d’intégrales orbitales sur ˜
G(F ) et la somme
sur toutes les données endoscopiques elliptiques des espaces d’intégrales orbitales
stables sur les espaces associés à ces données. Cela sera formulé plus rigoureusement en 4.9. Sur le corps de base R, ce n’est plus vrai et le point de départ devient
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d’où σ(t
) = z(σ)t
. Alors ξ T,T ◦ σ(t) = σ ◦ ξ T,T (t). Mais ce terme est aussi égal
à ξ T,T ◦ ω T ,T (σ) ◦ σ(t). D’où ω T ,T (σ) = 1 puisque γ est fortement régulier, cf.
1.3(5). Cela prouve (i).
(ii) Supposons que et η se correspondent. Fixons un diagramme
(, B
, T
, B, T, η).
Soit t ∈ T (F ), posons t
= ξ T,T (t). Alors (t
, B
, T
, B, T, tη) est encore un diagramme. Si t est en position générale, tη est fortement régulier. Donc (t
, tη) ∈
D(G
). On peut choisir t aussi proche de 1 que l’on veut. Donc (, η) appartient à
l’adhérence de D(G
). Inversement, supposons cette condition vérifiée. On fixe une
suite d’éléments (δ n , γ n ) ∈ D(G
), pour n ∈ N, qui tend vers (, η). Les résultats
usuels de la théorie de la descente valent dans le cas tordu. En notant par des
lettres gothiques les algèbres de Lie, on peut fixer un voisinage u η de 0 dans g η (F )
de sorte que tout point assez voisin de η soit conjugué par un élément de G(F )
à un élément exp(X)η où X ∈ u η . On peut fixer un voisinage similaire u de 0
dans g
(F ). Quitte à conjuguer nos éléments δ n et γ n et à supprimer un nombre
fini de termes de la suite, on peut donc écrire δ n = exp(Y n ), γ n = exp(X n )η.
Puisqu’il s’agit d’éléments semi-simples, les X n et Y n le sont aussi. Puisqu’il n’y a
qu’un nombre fini de classes de conjugaison par G η (F ) de sous-tores maximaux de
G η définis sur F (et de même pour G
), on peut, quitte à extraire une sous-suite,
fixer de tels sous-tores maximaux T
⊂ G η et T
⊂ G
et supposer X n ∈ t
(F ),
Y n ∈ t
(F ). D’après (i), on peut fixer des diagrammes (δ n , B
n , T
n , B n , T n , γ n ). Il
n’y a pas le choix pour les tores : on a nécessairement T
n = T
tandis que T n est
le commutant de T
dans G. Puisque ces tores n’appartiennent qu’à un nombre
fini de paires de Borel, on peut, quitte à extraire une sous-suite, fixer B contenant
T et B
contenant T
et supposer que B n = B et B
n = B
pour tout n. Puisque
γ n ∈ T (F )η et que ad γn conserve (B, T ), ad η conserve aussi cette paire. On écrit
η = te comme au début du paragraphe, avec t ∈ T . De même, on peut écrire
= t
e
, où e
est l’image de e dans Z( ˜
G
) et t
∈ T
. On a alors γ n = exp(X n )te,
δ n = exp(Y n )t
e
. D’après (6) appliqué au diagramme joignant δ n et γ n , on a
ξ T,T (exp(X n )t) = exp(Y n )t
. Quand n tend vers l’infini, X n et Y n tendent vers 0.
D’où ξ T,T (t) = t
. Mais alors (, B
, T
, B, T, η) est un diagramme. Cela achève la
preuve.
I.1.11 K-espaces
On suppose dans ce paragraphe F = R et on va introduire la notion de K-espace.
Expliquons la raison d’être de ces objets. Sur un corps de base F complexe ou nonarchimédien, le point de départ (du point de vue «géométrique») de la théorie de
l’endoscopie est que, si on se restreint aux points elliptiques de nos espaces, il y
a un isomorphisme entre les espaces d’intégrales orbitales sur ˜
G(F ) et la somme
sur toutes les données endoscopiques elliptiques des espaces d’intégrales orbitales
stables sur les espaces associés à ces données. Cela sera formulé plus rigoureusement en 4.9. Sur le corps de base R, ce n’est plus vrai et le point de départ devient