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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Complétons (B, T ) en une paire de Borel épinglée E, écrivons η = te, avec
e ∈ Z( ˜
G, E) et t ∈ T , cf. 1.3(1). Notons e
l’image de e dans Z( ˜
G
). L’élément
ξ T,T (t)e
de ˜
G
ne dépend pas de ces choix : la preuve de cette assertion est
contenue dans celle de 1.8(1). Alors
(6) pour de quelconques choix comme ci-dessus, = ξ T,T (t)e
.
Remarque. Soit un diagramme (, B
, T
, B, T, η) et soit B
1 un sous-groupe de
Borel de G
contenant T
. Il existe un unique élément w du groupe de Weyl W
G
de G
relativement à T
tel que B
1 = w(B
). Cet élément s’identifie à un élément
de W (le groupe de Weyl de G relativement à T ) qui est invariant par θ = θ e
pour e comme ci-dessus. Posons B 1 = w(B). Alors (, B
1 , T
, B 1 , T, η) est encore
un diagramme.
Pour et η vérifiant (1), on dit que et η se correspondent si et seulement
s’il existe un diagramme joignant à η. Il est clair que si et η se correspondent,
les classes de conjugaison sur ¯
F de et η se correspondent. La réciproque est
fausse en général, c’est-à-dire que, si les classes de conjugaison sur ¯
F de et η se
correspondent, il n’existe pas toujours de diagramme joignant et η. Le lemme
suivant précise ce point.
Lemme.
(i) Soit (δ, γ) ∈ D(G
). Alors il existe un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ).
(ii) Soient ∈ ˜
G
ss (F ) et η ∈ ˜
G ss (F ). Alors ces deux éléments se correspondent
si et seulement si (, η) appartient à l’adhérence de D(G
).
Preuve. (i) On fixe (B
, T
) et (B, T ) tels que (3) soit vérifiée (pour = δ, η = γ).
Les tores T et T
sont uniquement déterminés puisque nos éléments sont fortement
réguliers, donc (4) est vérifiée. On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée
E. Il existe un cocycle ω T ,T : Γ F → W
θ (où θ = θ E ) tel que σ T ◦ ξ T,T =
ξ T,T ◦ ω T ,T (σ) ◦ σ T . On écrit γ = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). On peut aussi
écrire δ = t
e
où t
∈ T
et e
est l’image de e dans Z( ˜
G
). L’hypothèse que les
classes de conjugaison de δ et γ se correspondent signifie qu’il existe w ∈ W
θ tel
que ξ T,T ◦ w(t) = t
. On peut relever w en un élément n de G SC,e qui normalise
T . Remplaçons E par E 1 = ad n −1 (E). Cela remplace ξ T,T par ξ T,T ,1 = ξ T,T ◦ w.
On a alors ξ T,T ,1 (t) = t
. En oubiant cette construction, on suppose ξ T,T (t) = t
.
Soit σ ∈ Γ F . D’après 1.3(4), il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que ad uE (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e
et l’image de σ(t) dans T /(1 − θ)(T ) soit égale à celle de t multipliée par z(σ) (en
notant encore z(σ) l’image de cet élément dans les divers quotients de Z(G)). La
première relation entraîne σ G ∗ (¯ e) = z(σ)
−1 ¯
e (où ¯
e est l’image de e dans Z( ˜
G))
puis σ G (e
) = z(σ)
−1 e
. La seconde relation entraîne ξ T,T ◦ σ(t) = z(σ)ξ T,T (t) =
z(σ)t
. On a aussi
t
e = δ = σ(δ) = σ(t
)σ(e
) = σ(t
)z(σ)
−1 e
,
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Complétons (B, T ) en une paire de Borel épinglée E, écrivons η = te, avec
e ∈ Z( ˜
G, E) et t ∈ T , cf. 1.3(1). Notons e
l’image de e dans Z( ˜
G
). L’élément
ξ T,T (t)e
de ˜
G
ne dépend pas de ces choix : la preuve de cette assertion est
contenue dans celle de 1.8(1). Alors
(6) pour de quelconques choix comme ci-dessus, = ξ T,T (t)e
.
Remarque. Soit un diagramme (, B
, T
, B, T, η) et soit B
1 un sous-groupe de
Borel de G
contenant T
. Il existe un unique élément w du groupe de Weyl W
G
de G
relativement à T
tel que B
1 = w(B
). Cet élément s’identifie à un élément
de W (le groupe de Weyl de G relativement à T ) qui est invariant par θ = θ e
pour e comme ci-dessus. Posons B 1 = w(B). Alors (, B
1 , T
, B 1 , T, η) est encore
un diagramme.
Pour et η vérifiant (1), on dit que et η se correspondent si et seulement
s’il existe un diagramme joignant à η. Il est clair que si et η se correspondent,
les classes de conjugaison sur ¯
F de et η se correspondent. La réciproque est
fausse en général, c’est-à-dire que, si les classes de conjugaison sur ¯
F de et η se
correspondent, il n’existe pas toujours de diagramme joignant et η. Le lemme
suivant précise ce point.
Lemme.
(i) Soit (δ, γ) ∈ D(G
). Alors il existe un diagramme (δ, B
, T
, B, T, γ).
(ii) Soient ∈ ˜
G
ss (F ) et η ∈ ˜
G ss (F ). Alors ces deux éléments se correspondent
si et seulement si (, η) appartient à l’adhérence de D(G
).
Preuve. (i) On fixe (B
, T
) et (B, T ) tels que (3) soit vérifiée (pour = δ, η = γ).
Les tores T et T
sont uniquement déterminés puisque nos éléments sont fortement
réguliers, donc (4) est vérifiée. On complète (B, T ) en une paire de Borel épinglée
E. Il existe un cocycle ω T ,T : Γ F → W
θ (où θ = θ E ) tel que σ T ◦ ξ T,T =
ξ T,T ◦ ω T ,T (σ) ◦ σ T . On écrit γ = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E). On peut aussi
écrire δ = t
e
où t
∈ T
et e
est l’image de e dans Z( ˜
G
). L’hypothèse que les
classes de conjugaison de δ et γ se correspondent signifie qu’il existe w ∈ W
θ tel
que ξ T,T ◦ w(t) = t
. On peut relever w en un élément n de G SC,e qui normalise
T . Remplaçons E par E 1 = ad n −1 (E). Cela remplace ξ T,T par ξ T,T ,1 = ξ T,T ◦ w.
On a alors ξ T,T ,1 (t) = t
. En oubiant cette construction, on suppose ξ T,T (t) = t
.
Soit σ ∈ Γ F . D’après 1.3(4), il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que ad uE (σ) ◦σ(e) = z(σ)
−1 e
et l’image de σ(t) dans T /(1 − θ)(T ) soit égale à celle de t multipliée par z(σ) (en
notant encore z(σ) l’image de cet élément dans les divers quotients de Z(G)). La
première relation entraîne σ G ∗ (¯ e) = z(σ)
−1 ¯
e (où ¯
e est l’image de e dans Z( ˜
G))
puis σ G (e
) = z(σ)
−1 e
. La seconde relation entraîne ξ T,T ◦ σ(t) = z(σ)ξ T,T (t) =
z(σ)t
. On a aussi
t
e = δ = σ(δ) = σ(t
)σ(e
) = σ(t
)z(σ)
−1 e
,